java_prog Jul 28 2023 at 11:37

Квантовые компьютеры. С точки зрения традиционного программиста-математика. Часть 1

8 min

14K

Algorithms*Mathematics*Quantum technologies

О чем эта публикация

Имея более чем немалый опыт в традиционном программировании, я долгое время не касался темы квантовых компьютеров. Для меня это была какая то неизвестная магия. Безусловно, я знал теоретические основы, знал, какого рода задачи можно решать на квантовых цепях. Но не мог самостоятельно составить не только ни одной квантовой программы, даже разобраться в существующих квантовых алгоритмах не мог.

И вот, наконец, я закрыл этот пробел. И теперь, вспоминая, с каким непониманием я сталкивался, когда осваивал эту тему, захотел изложить ее так, чтобы тема была понятней с точки зрения опытного программиста. Конечно без математики тут никуда, нужно понимание линейной и комплексной алгебры. Поэтому, с точки зрения не просто программиста, а программиста-математика.

Многие теоретические курсы очень долго подводят к сути, накачивая нужной, но очень сложной теорией. Я попытался сократить этот период и как можно скорее перейти к сути, раскрывая нужную теорию по мере необходимости.

Квантовый регистр

В традиционных компьютерах память, это некоторый объем, допустим бит. Память имеет какое то состояние в момент времени, описываемое значением каждого бита. Также можно составить взаимно однозначное соответствие между состоянием памяти и числом от 0 до 2^n-1 . Например состояние памяти объемом 8 бит однозначно задается целым числом от 0 до 255. Эту память можно перевести из одного состояния в другое командой записи. А также можно в любой момент прочитать состояние памяти несколько раз, не изменяя её состояния.

В квантовых компьютерах свойства необычны. Квантовый регистр, который отдаленно можно назвать "памятью" может также иметь некоторый объем, допустим кубит.
На этом сходства заканчиваются.

Состояние квантового регистра нельзя описать значением каждого кубита, как в традиционном случае. Квантовый регистр объемом 8 кубит, одновременно находится во всех традиционных состояниях от 0 до 255. Но с разными вероятностями. Какая то вероятность, что этот регистр равен 0, какая то вероятность, что этот регистр равен 127 или 255. Любое число от 0 до 255 с какой то вероятностью может быть в квантовом регистре. Обозначим набор этих вероятностей:

$\{p_0, p_1,\dots, p_{255}\}, \quad \sum_{j=0}^{255}p_j=1$

Распределение этих вероятностей и отражает состояние квантового регистра.

Состояние квантового регистра. Вероятно, в результате чтения такого регистра мы получим число 112, но можем получить и другие числа

Квантовый регистр можно переводить из одного состояния в другое. Но под состоянием, еще раз подчеркну, мы понимаем не текущее значение битов, как в традиционной памяти, а именно распределение вероятностей. То есть мы можем проводить операции, которые изменяют распределение вероятностей, $\{p_0, p_1,\dots, p_{255}\} \rightarrow \{p_0', p_1',...p'_{255}\}$ Состояние традиционного регистра памяти, получается, является частным случаем состояния квантового регистра. Действительно, допустим традиционный регистр памяти объемом 8 бит находится в состоянии 127. Но ведь можно описать это состояние и распределением вероятности, где все вероятности равны 0, кроме вероятности того, что регистр в состоянии 127.

$\{p_0=0, p_1=0,\dots , p_{127}=1,\dots , p_{255}=0\}$

Если происходит запись традиционного регистра и его новое значение, допустим 128, то эта операция в квантовом обобщенном виде будет выглядеть так:

$\{p_0=0, p_1=0,\dots , p_{127}=1,\dots , p_{255}=0\} \rightarrow \{p_0'=0, p_1'=0,\dots , p_{128}'=1,\dots , p_{255}'=0\}$

И последнее, это чтение. Прочитать квантовый регистр можно один раз за всё время его существования. Процедура чтения из квантового регистра из 8 кубит выдаст в результате какое-то одно любое значение от 0 до 255, для которого была ненулевая вероятность в состоянии на момент чтения регистра. После прочтения квантовый регистр уничтожается. Но это еще не самое неприятное. Самое неприятное, что состояние других регистров, которые мы не читали, после этой процедуры изменится. Необязательно читать весь квантовый регистр, можно читать отдельные его кубиты. В этом случае уничтожится часть кубитов квантового регистра и уменьшится объем квантового регистра, и конечно же самое неприятное - изменится состояние других, непрочитанных кубитов.

Занесем все изложенное в таблицу:

Традиционный регистр	Квантовый регистр
Имеет объем, измеряемый битами	Имеет объем, измеряемый кубитами
Состояние регистра, объемом бит задается числом от 0 до	Состояние регистра, объемом кубит задается распределением вероятностей $\{p_0, p_1,\dots, p_{2^n-1}\}, \sum_{j=0}^{2^n-1}p_j=1$
Состояние регистра объемом бит, можно изменять, записывая в него любое новое число от 0 до	Состояние регистра, объемом кубит можно изменить, в результате чего получится новое распределение вероятностей $\{p_0', p_1',\dots, p_{2^n-1}'\}, \sum_{j=0}^{2^n-1}p_j'=1$
Читать регистр объемом бит, можно сколько угодно раз не изменяя его состояния, в результате чтения получим число от 0 до , которое является состоянием регистра на момент чтения	Состояние регистра, объемом кубит можно прочесть всего один раз, уничтожив регистр, в результате чтения получим любое число от 0 до для которого в состоянии на момент чтения была ненулевая вероятность. Состояние остальных регистров в результате этой операции в общем случае изменяется

Кое-что формализуем, введем пару нотаций, терминов, и поедем дальше

Теперь можем крупными штрихами начертать, как выглядит программа для квантового компьютера. На вход программы подается квантовый регистр размера в каком-то состоянии, задаваемым распределением вероятностей $\{p_0, p_1,\dots, p_{2^n-1}\}, \sum_{j=0}^{2^n-1}p_j=1$

Далее этот регистр проходит через цепочку преобразований и чтений. Чтение в квантовых вычислениях называются - измерение. И далее я буду пользоваться этим термином. В процессе измерений, один или несколько кубитов регистра, что были измерены, будут уничтожены. В итоге на выходе программы мы получим квантовый регистр, того же, или другого размера , заданный состоянием $\{p_0', p_1',\dots, p_{2^m-1}'\}, \sum_{j=0}^{2^m-1}p_j'=1$

Далее полученный регистр может подаваться в другую квантовую программу, другую цепочку преобразований или может быть измерен, чтобы получить результат работы программы.

Вот мы и описали любую программу для квантового компьютера.

Пока всё понятно? Теперь повысим сложность изложения, скрепя сердце, но без этого дальше никак.

Во первых я сказал выше, что вероятности $\{p_0, p_1,\dots, p_{2^n-1}\}$ характеризуют состояние регистра. Но эти вероятности не описывают состояние квантового регистра однозначно. Квантовый регистр в разных состояниях может показывать одинаковое распределение вероятностей.

Но хорошая новость в том, что однозначное описание состояния квантового регистра не сильно отличается.

Однозначное описание состояния квантового регистра размера кубит задается комплексными числами $\{\alpha _0, \alpha _1,\dots, \alpha _{2^n-1}\}$ , такими, что вероятности равны:

$p_0=|\alpha_0|^2;\quad p_1=|\alpha_1|^2;\quad \dots p_{2^n-1}=|\alpha_{2^n-1}|^2$

Здесь, $|\alpha|^2$ это квадрат модуля комплексного числа. $|\alpha|^2=\alpha \alpha ^*$

Эти комплексные числа называются амплитуды состояния.

Очевидно, что могут существовать два различных комплексных числа $\alpha$ и $\beta\neq\alpha$ , что $|\alpha|^2=|\beta|^2$ . Поэтому описание состояния регистра с помощью вероятностей не является однозначным.

Далее введем следующую формальность. Будем иногда записывать состояние регистра вертикально

$\left( \begin{array}{cccc} \alpha_0\\ \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_{2^n-1} \end{array} \right)$

Эта формальность облегчит нам математические преобразования состояния квантового регистра инструментами линейной алгебры.

Есть и другие нотации, обозначающие состояние квантового регистра. Если квантовый регистр состоит из одного кубита, его состояние можно обозначить, как

$\alpha_0 |0\rangle +\alpha_1 |1\rangle \quad (1)$

Напомню, что $p_0=|\alpha_0|^2$ это вероятность того, что в результате измерения этого кубита мы получим значение 0, $p_1=|\alpha_1|^2;\quad p_1=1-p_0$ - вероятность того, что в результате измерения этого кубита, мы получим значение 1.

Также справедливо следующее обозначение состояния регистра из нескольких кубит:

$\sum_j{\alpha_j |j\rangle}$

Иногда если, к примеру, у кубита $\alpha_0=1;\alpha_1=0$ , то со стопроцентной вероятностью в результате измерения мы получим значение 0. Тогда существует совсем краткое обозначение состояния кубита

$|0\rangle$

Что является частным случаем обозначения (1), при $\alpha_0=1;\alpha_1=0$

Наконец, никто не ограничивает нас использовать различные системы счисления, в этом случае, состояние регистра из двух кубитов могут записывать в двоичной системе, как

$\alpha_{00} |00\rangle +\alpha_{01} |01\rangle +\alpha_{10} |10\rangle +\alpha_{11} |11\rangle$

Квантовый компьютер позволяет преобразовывать состояние квантового регистра, изменяя состояние отдельных кубит, входящих в этот регистр и не трогая остальные. В классическом компьютере ведь тоже нет нужды переписывать всю память, если меняют только один-два байта в памяти. В этом случае кубит или кубиты, с которым идёт работа программы, могут быть записаны немного отдельно от остальных кубит и можно увидеть, например такие обозначения.

$\alpha_0\sum_j{\beta_j |j\rangle}\otimes|0\rangle +\alpha_1\sum_j{\beta_j |j\rangle}\otimes|1\rangle$

Здесь, интересующий нас кубит, может в результате измерения выдать 0 или 1 с вероятностями $p_0=|\alpha_0|^2,p_1=|\alpha_1|^2$ а состояние остальных кубитов регистра $\sum_j{\beta_j |j\rangle}$ нас по какой то причине не особо интересует.

Состояние нескольких кубитов

Допустим у нас есть два кубита, каждый со своим состоянием: $\alpha_0 |0\rangle +\alpha_1 |1\rangle$ и $\beta_0 |0\rangle +\beta_1 |1\rangle$

В каком состоянии будет система из двух кубит? Рассуждаем так: если нам надо посчитать вероятность того, что двукубитная система в результате измерения даст значение $|00\rangle$ , то нам надо взять вероятность того, что первый кубит в результате измерения даст значение $|0\rangle$ и одновременно второй кубит даст значение $|0\rangle$ .

Отсюда простое правило смешивания кубитов, чтобы получить совместное состояние нескольких кубитов, надо перемножить их состояния.

Данная формула и будет описывать состояние двухкубитного регистра, полученного из двух состояний двух кубитов

$\left( \begin{array}{cccc} \alpha_0\\ \alpha_1 \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array}{cccc} \beta_0\\ \beta_1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} \alpha_0 \beta_0 \\ \alpha_0 \beta_1 \\ \alpha_1 \beta_0 \\ \alpha_1 \beta_1 \end{array} \right)$

Квантовая запутанность

Это одно из важнейших и очень загадочных свойств нашей вселенной, которому до сих пор не нашлось научного обоснования. И это свойство очень активно используется в квантовых вычислениях. Я бы даже сказал это самое главное свойство, без которого квантовые вычисления немыслимы.

Итак, допустим у нас есть квантовый регистр из двух кубитов в состоянии

$\alpha_0 |00\rangle +\alpha_1 |11\rangle$

То есть в этой системе исключены состояния $|10\rangle, |01\rangle$

Пусть мы берем один кубит из этих двух и измеряем. В процессе измерения получаем, к примеру значение 0. Измеренный кубит уничтожился. В каком состоянии находится оставшийся кубит?

Логика следующая, так как возможны были только состояния $|00\rangle, |11\rangle$ и мы в результате измерения выяснили, что один из кубитов дал значение 0, то система могла быть только в состоянии $|00\rangle$ , а значит второй кубит вероятно даст 0 в результате измерения. Но то логика, а что показывает реальная квантовая жизнь?

Реальная квантовая жизнь показывает абсолютно тоже самое. Почему тогда это удивительно?

Представьте такой эксперимент. Допустим мы построили такую систему из двух кубит и привели ее в состояние $\alpha_0 |00\rangle +\alpha_1 |11\rangle$ .

Затем один кубит был отправлен на Альфу-Центавра, второй остался на Земле. Если мы не будем измерять тот кубит, что остался на Земле, то измерение кубита на Альфа Центавре с некоторой вероятностью даст значение 0, с некоторой вероятностью даст значение 1. Но сразу как только мы измерим кубит на Земле и получим 1, то всё. Астронавты на Альфа-Центавра будут в результате измерения получат только 1 у своего кубита со стопроцентной вероятностью, никаких нулей там больше быть не может. Как эти кубиты общаются между собой на расстоянии световых лет друг от друга, как один из двух кубит "узнал", что второго кубита измерили? Это загадка вселенной. Замечу, что никакого парадокса с теорией относительности при этом не возникает. Вероятность это не информация и никакой информации мы не передаем, мы лишь можем обнаружить странные корреляции вероятностных событий на таких расстояниях, где они казалось бы, невозможны в виду невозможности вообразимой связи между этими событиями в течение малого промежутка времени.

А в наших квантовых вычислениях свойство квантовой запутанности используется очень активно. Как в примере выше, мы, измерив один из кубитов, перевели второй кубит в состояние, где стопроцентная вероятность получить предсказуемое значение в результате измерения. В общем случае измерение меняет состояние. В традиционном смысле, этот как если бы мы читали значение из памяти классической ЭВМ с одного адреса, а содержимое других адресов после операции чтения изменялось бы. С непривычки, квантовая спутанность кубитов может мешать нам. Например в классическом компьютере, если нет необходимости в каком то лишнем бите регистра, то мы можем не обращать на него внимания и спокойно работать с оставшимися битами.

В квантовом компьютере "выкинуть" в мусорку ненужный кубит нельзя. Ведь на мусорке какой нибудь злодей может измерить наш кубит, чем приведет нашу систему в совершенно не то состояние, которое мы хотим. Но, слава богу, программисты квантовых компьютеров научились правильно утилизировать ненужные кубиты, о чем я расскажу позже.

Если немного привыкнуть к свойству квантовой запутанности, то от него все таки больше пользы, чем вреда.

Посмотрим на задачу в общем случае. У нас была система из двух кубит в состоянии:

$\gamma_{00} |00\rangle +\gamma_{01} |01\rangle +\gamma_{10} |10\rangle +\gamma_{11} |11\rangle$

Мы измеряем первый (старший/левый) кубит из двух. Какова вероятность, что мы получим 0, какова вероятность что получим 1?

Тут всё просто, например, вероятность получить значение 0 это та же вероятность, что система из двух кубитов в результате измерения была бы $|00\rangle, |01\rangle$ то есть:

$P_0= |\gamma_{00}|^2+|\gamma_{01}|^2$ $P_1= |\gamma_{10}|^2+|\gamma_{11}|^2$

А теперь другой эксперимент, мы первым измеряем второй (младший/правый) кубит из двух, получаем 0. Какова теперь вероятность, что измерение первого кубита даст 0, какова вероятность 1?

Из за квантовой запутанности, так как второй кубит дал 0, то возможные состояния системы сокращаются до $|00\rangle$ или $|10\rangle$

Из начального состояния мы знаем, что вероятность первого события $|00\rangle$ до всех измерений была $|\gamma_{00}|^2$ , а вероятность второго события $|10\rangle$ была $|\gamma_{10}|^2$

Отношение этих вероятностей сохраняется после измерения, только теперь нам надо добавить нормировочный коэффициент, чтобы сумма вероятностей равнялась единице

$P_0= \frac{|\gamma_{00}|^2}{|\gamma_{00}|^2+|\gamma_{10}|^2}$ $P_1= \frac{|\gamma_{10}|^2}{|\gamma_{00}|^2+|\gamma_{10}|^2}$

Как видим, простое измерение одного из кубитов, изменило вероятности значений другого кубита, изменило состояние остальной части квантового регистра. Измеренный кубит был неотъемлемой частью состояния системы, и даже если нам он стал не нужен в процессе выполнения программы, пренебрегать им или отбрасывать нельзя.

Теперь предлагаю сделать перерыв в недельку, хорошенько уложить сказанное и приступать к следующей части: элементы квантовой программы: гейты.

Tags:

Hubs: