Математика и физика для простой и результативной учёбы (Серия: Сельскому учителю в помощь). Часть II: Предмет математики

«В курсе так называемой элементарной математики полагается основание знакомству с тремя основными математическими понятиями, а именно: с понятием числа, уравнения и функции. Первому из них в средней школе уделяется наибольшее внимание и отводится наибольшее время. В арифметике рассматривается сначала счет, как первый основной процесс, приводящий к результату, выражающемуся числом; затем изучаются действия над натуральными числами, являющимися результатом счета, и указываются некоторые их свойства; наконец, делаются первые шаги на пути расширения понятия числа, а именно; вводятся число нуль и дробные числа, и указывается второй основной процесс получения числа: измерение.
Дальнейшее изучение числа переносится обыкновенно в курс алгебры. Здесь рассматривается дальнейшее расширение понятия числа, и вводятся числа отрицательные, иррациональные и комплексные.
Второму основному понятию – понятию уравнения – отводится несравненно меньше времени и места. Изучаются лишь уравнения первой и второй степеней и некоторые уравнения приводящиеся к уравнению второй степени.
Наконец третьему основному понятию – понятию функции – в средней школе пли совсем не оказывается места, или уделяется весьма мало времени и внимания.
Кроме арифметики и алгебры, в курс математики средней школы входят еще геометрия и тригонометрия. Та и другая представляют обыкновенно обособленные части, и, если в геометрических задачах на вычисление пользуются арифметикой и алгеброй, то в арифметике и алгебре обыкновенно не прибегают к помощи геометрических иллюстраций и интерпретаций.
Описанный выше в кратких чертах обычный курс элементарной математики содержит в себе почти только то, что было достоянием науки до XVII столетия. Из математических открытий, сделанных с ХVII столетия, в элементарный курс вошла только теория логарифмов и начинают входить учения о координатах и функции.
Таким образом создалась отсталость общеобразовательного курса математики от ее современного состояния более, чем на 300 лет.
Между тем приложения математики к вопросам естествознания, техники, статистики, политической экономии, финансовых вычислений, страхового дела с каждым годом расширяются, и лица, занимающиеся этими предметами, встречают не малые затруднения, если они обладают только теми математическими знаниями, которые даст обычный курс элементарной математики.»

«Уже ряд лет наблюдается серьезная тревога по поводу все увеличивающегося разрыва между методами и духом преподавания математики в средних школах (лицеях), с одной стороны, и в университетах – с другой. Предлагаемая книга содержит полное и подробное изложение понятий и теорем элементарной линейной алгебры, которые должны были бы составлять необходимый минимум знаний бакалавра наук в момент его поступления в пропедевтические классы высшего учебного заведения. Это обучение должно ему казаться естественным продолжением предшествующей учебы. Однако в настоящее время вряд ли найдется даже один среди тысячи бакалавров, способный без дополнительной помощи и упорной работы прочесть данную книгу, что достаточно характеризует несогласованность программ курсов математики в средней и высшей школе. Я заранее прошу прощения у тех университетских коллег, в руки которых попадет эта книга. Они, возможно (и с полным правом!), обвинят меня в том, что я ломлюсь в открытую дверь, причем делаю это к тому же с совершенно ненужным шумом. В свое оправдание скажу, что дверь эта, видимо, открыта не для всех. Обучение математике «по Евклиду» было неплохой подготовкой к дальнейшим занятиям математикой для современников Виета или даже для современников Коши. Сегодня положение коренным образом изменилось. Я прошу вас беспристрастно посмотреть на следующие темы, занимающие большое место в школьной математике: I. Задачи на построение «циркулем и линейкой». II. Свойства «традиционных» фигур, таких, как треугольники, четырехугольники, окружности и системы окружностей, конические сечения... – все это со всеми изощрениями, накопленными поколениями «геометров» и преподавателей в поисках подходящих экзаменационных задач. III. Весь псалтырь «тригонометрических формул» и их калейдоскопических преобразований, позволяющих находить великолепные «решения» «задач» на треугольники. Если вы теперь откроете наугад любую книгу, трактующую какую-либо область, изучаемую в высшем учебном заведении, то сразу заметите, что ни в одной из них нет ни малейшего упоминания всей этой роскоши. Если иногда случайно и встретится коническое сечение, то оно исследуется (если это необходимо) так же, как и всякая другая кривая, – общими методами анализа. Что же касается других «фигур», дорогих сердцам геометров предыдущих поколений, то они просто растворились в небытие. Согласен, скажете вы, пусть теоремы, которым учат школьников, предназначены для того, чтобы в дальнейшем быть забытыми; однако, упражняясь на этих искусственных примерах, они познакомятся с методами исследований и приобретут навыки мышления, которые в дальнейшем окажут им большую помощь. На это опять-таки можно ответить, что сказанное, несомненно, было правильным в эпоху, предшествующую Декарту, но оно устарело уже для современников Ньютона. Следствием развития математики является то, что результаты, которые первооткрыватели получают после трудных рассуждений, следуя по извилистым и иногда темным путям, зачастую через 50-100 лет могут быть выведены на нескольких строчках. Общеизвестным примером такой ситуации является изобретение анализа бесконечно малых. Оно сразу свело решение проблем, над которыми бились изощренные умы Евдокса и Архимеда, к почти автоматическим вычислениям. Что хуже известно – это то, что в результате работ Грассмана, Кэли и других более чем столетней давности, и в элементарной геометрии открылся, по образному выражению Г. Шоке, «королевский путь». Отправляясь от очень простых аксиом – в отличие от сложных аксиом Евклида – Гильберта, – можно при помощи тривиальных вычислений непосредственно и в несколько строчек получить все то, для чего раньше нужно было возводить леса искусственных и сложных систем треугольников. Непосвященному такое явление может показаться удивительным. Специалист-математик давно уже освоился с подобным положением дел и знает, что замена одной системы аксиом другой – эквивалентной, но лучше подобранной – зачастую приводит к значительным упрощениям. Что же полезнее – излагать ученикам теории, где все естественно укладывается вокруг нескольких простых ключевых идей, которые, кроме того, будут основными и в их дальнейшей учебе, или же, напротив, оставить их лицом к лицу с неподходящим аппаратом, который им нужно будет забыть, как только они его освоят? Можно ли рассматривать накопление частных, более или менее разрозненных познаний для подготовки ко всевозможным профессиям целью среднего образования? Не лучше ли попытаться научить детей думать на примере небольшого числа хорошо подобранных понятий с тем, чтобы в дальнейшем технические навыки смогли с легкостью надстраиваться в «хорошо подготовленные головы». Это тем более просто, что в математике мало понятий, которые было бы проще определить, чем понятие векторного пространства и понятие линейного преобразования. Одно из преимуществ линейной алгебры в том и состоит, что она позволяет изложить элементарную геометрию с полной строгостью и совсем просто, между тем, как хорошо известно, аксиоматические системы, предложенные в конце прошлого столетия и тесно следующие традициям Евклида, столь сложны и тонки, что они практически не могут быть изложены ранее, чем на старших курсах университета. Я являюсь решительным противником «метода предварительного возведения лесов». Такой подход был бы оправдан, если бы понятия, лежащие в основе аксиом евклидовой плоскости – сложение векторов, умножение вектора на скаляр, скалярное произведение векторов, – были бы слишком абстрактны и труднопредставимы на чертеже. Однако все знают, что это не так, – и нескольких месяцев работы с миллиметровой бумагой должно быть достаточно, чтобы приучить ученика к этим действиям и привести его к допущению, что можно построить алгебро-геометрическое здание на свойствах, правильность которых легко проверяется на опыте. Нужно научить ребенка искусству геометрических построений, но при этом следует как чумы избегать этого воплощенного анекдота классического обучения – ограничения набора допустимых инструментов лишь циркулем и линейкой. Напротив, нужно приводить как можно больше примеров механических чертежных инструментов, позволяющих осуществлять самые различные конструкции или – еще лучше – преобразования плоскости (пантограф, аффиннограф и так далее). Желательно как можно раньше освободить ученика от смирительной рубашки традиционных фигур, упоминая их как можно реже (за исключением, конечно, таких, как точки, прямые и плоскости), и пользоваться вместо этого геометрическими преобразованиями всей плоскости или всего пространства. В целом преподавание в средних классах школ должно состоять из хорошо продуманной смеси умело выбранных «геометрических опытов» и частных рассуждений относительно результатов таких опытов: по аналогии с обучением физике и химии, это должно составить своеобразную «физику пространства». Нужно освободить обучение математике от суеверия, что все любой ценой должно быть сведено к единому аксиоматическому источнику. Математики-профессионалы имеют веские основания стремиться к такому положению вещей, но эти основания касаются только их. Что, напротив, имеет всеобщее значение – это умение осуществлять правильные логические выводы из посылок, которые вовсе не обязаны обладать генеалогическим древом, восходящим к теории множеств. Надеюсь, что мне поверят, если я в конце отмечу, что, вмешиваясь в вопросы среднего образования, я не преследую никакой личной выгоды. От того, где и когда произойдет реформа образования и какие принципы будут положены в ее основу, мне не холодно и не жарко. Я хотел только добавить для архивов будущего историка некоторый материал о том, как при этом можно было бы поступать, если стремиться действовать разумно.»

«В нашем университете был введен курс лекций «Основные принципы классической механики и классической теории поля», включающий квинтэссенцию классических разделов теоретической физики. Я подготовил такой курс и дважды прочитал его. Важность этого материала для основ физики и отсутствие единого его изложения в существующих учебниках побудили меня сделать данный курс общедоступным, издав его в виде настоящей книги.» [12] «Не случайно принципы механики производили огромное впечатление на многих выдающихся математиков и физиков. Не случайно также, что в европейских университетах с давних пор курс теоретической механики обязательно входит в план обучения любого будущего математика и физика. Аналитическая механика – это гораздо большее, чем просто эффективный метод решения динамических задач, с которыми приходится встречаться в физике и технике. Вряд ли существует еще какая-либо из точных наук, где абстрактные математические рассуждения и конкретные физические доводы так прекрасно гармонируют и дополняют друг друга. За великими теориями Эйлера и Лагранжа, Гамильтона и Якоби скрывается необычайное богатство философского содержания, которое совершенно исчезает при чисто формальном изложении, но которое не может не быть источником величайшего интеллектуального наслаждения для человека, любящего математику. Дать студенту возможность открыть для себя скрытую красоту этих теорий – в этом заключалась одна из главных задач автора. Корни вариационных принципов механики уходят в глубь эпохи либерализма, начавшейся с Декарта и окончившейся с французской революцией, эпохи, в которую жили Лейбниц, Спиноза, Гёте и Бах. Это был единственный период во всей истории Европы со времен древних греков, когда люди мыслили в масштабах Вселенной. Если автор сумел передать хотя бы частицу этого космического духа, то его усилия вполне вознаграждены.» [13] «Каждой механической системе сопоставляется некоторая функция обобщенных координат, обобщенных скоростей системы, и времени: L = L (координат, скоростей, времени) называемая функцией Лагранжа. Обобщенными координатами называются любые величины, с помощью которых может быть задано положение системы в пространстве. Обобщенными скоростями называются производные обобщенных координат по времени. Установив для рассматриваемой механической системы вид функции Лагранжа, можно описать движение системы с помощью уравнений, связывающих частные производные функции L по координатам и скоростям. Функция Лагранжа может быть использована для характеристики не только систем с конечным числом степеней свободы, но и систем с бесконечным числом степеней свободы – сплошных сред, электромагнитных и других физических полей. Таким образом, значение функции Лагранжа выходит за рамки классической механики.» [14] «Системы, где есть преобразователи электрической энергии в другие виды и наоборот, описываются с помощью уравнений аналитической механики. Для электромеханических систем описание с помощью уравнений Лагранжа наиболее естественно. Это позволяет выделить обширный класс систем, для которых применим лагранжев формализм, что полезно в методическом и в принципиальном отношении. Основываясь на общности математического аппарата, можно использовать многие важные факты, полученные в аналитической механике, для интерпретации их в терминах теории цепей. Возможность использования методов аналитической механики в теории электрических цепей известна со времен Максвелла. Это положение сейчас столь очевидно, что во многих учебниках по теоретической электротехнике и теории цепей приведены примеры, показывающие применимость уравнений Лагранжа и Гамильтона. Аналогом кинетической и потенциальной энергий выступают магнитная и электрическая энергии цепи соответственно. Уже в работах Максвелла указан формальный прием построения уравнений Лагранжа для линейных цепей с двухполюсниками. Описание электрических цепей уравнениями классической механики имеет еще одну положительную сторону. Для численного решения уравнений типа Лагранжа и Гамильтона возможно построение специальных методов численного интегрирования, которые оказываются либо более эффективными, либо лучше отображают истинные свойства решений.» [15] «Механика прошла три основных этапа. К первому мы должны отнести развитие механики вплоть до Галилея и Ньютона; второй этап, начатый Галилеем и Ньютоном и включивший в себя разработку основных принципов механики в целом, заканчивается к половине девятнадцатого столетия; с этого времени, связанного с открытием закона сохранения и превращения энергии, начинается третий этап. Первый этап, занявший более полутора тысяч лет древнего мира и средневековья, характеризуется крайне низким уровнем развития техники. В силу этого и механика имела своим ближайшим объектом примитивные орудия этой эпохи – простые рычаги, блоки и т.п., привязанные к тому же к земле. Формулировка и применение основных законов динамики и обобщение механики с земных тел на все вообще соотношения тел во вселенной были задачей XVI и XVII веков. Эта эпоха была эпохой развития торгового и мануфактурно-промышленного капитализма. Развитие применения машин как в производстве, торговле, так и в военном деле ставило задачи развития механики и астрономии, а вместе с ними и математики. В тот период механика была господствующей и наиболее развитой среди естественных наук. С бурным развитием в XIX веке физики, производства и связанной с ним техники, одно из центральных достижений этой науки составляет принцип сохранения энергии и превращаемости ее форм. Обозначая через T кинетическую энергию, через V – потенциальную, через Q – тепловую, через X – электрическую и т. д., запишем закон сохранения энергии так: T + V + Q + X + ... = const т.е. ΔT + ΔV + ΔQ + ΔX + ... = 0 Эти уравнения содержат ту мысль, что механическое движение является лишь одной из форм физических движений материи, и что механическое движение может превращаться в другое – тепловое, электрическое и т.п. Первая формула указывает на постоянство полной величины энергии всех ее видов, вторая – на переход одного из них в другой. Здесь, таким образом, механике придана уже не механическая, а общефизическая основа.» [16]

«Движение системы можно рассматривать как цепь преобразований ее состояний. Состояние любой системы можно, с определенной точностью, охарактеризовать совокупностью значений величин, определяющих ее поведение. Есть различные формы описания состояния системы. Мы будем пользоваться способом, основанным на понятии пространства состояний. Пространство, где каждое состояние системы изображается определенной точкой (алгебраический вектор), назовём пространством состояний системы. Термин «дискретный автомат» или кратко просто «автомат» обозначает модель, обладающую следующими особенностями: а) на «входы» модели в каждый из дискретных моментов времени t1,t2,t3,... поступает m «входных» величин (вектор алгебраический) { x1,x2,x3,...,xm }, каждая из которых может принимать значение из конечного «входного» множества X; б) на «выходах» модели можно наблюдать n «выходных» величин (вектор алгебраический) { y1,y2,y3,...yn }, каждая из которых может принимать конечное число фиксированных значений из «выходного» множества Y; в) в каждый момент времени модель находится в одном из состояний z1,z2,z3,...zv, заданных конечным множеством Z; г) в каждый момент времени состояние модели определяется входной величиной х и состоянием z; д) модель осуществляет преобразование «ситуации» (вектора) x = { x1,xt2,x31,...,xm } на входе в «ситуацию» (вектор) y = { y1,y2,y3,...yn } на выходе в зависимости от ее состояния в предыдущей момент времени.» [20]

«Каждое физическое определение, претендующее на пригодность, должно сводить определяемое понятие к таким понятиям, происхождение которых коренится в непосредственных чувственных восприятиях – так, чтобы для более или менее точного числового выражения соответствующей величины требовалось только непосредственное наблюдение. Мы можем определить энергию некоторой материальной системы как функцию, значение которой зависит от переменных, определяющих состояние системы, следовательно, от положения, скорости, температуры и тому подобных материальных элементов системы. Состояние материальной системы в определенный момент времени есть совокупность всех величин, мгновенными значениями которых полностью определено течение в ней процесса (внешние действия здесь исключены). Тогда энергия системы является определенной функцией этих величин. Если ограничиться рассмотрением явлений движения, то под состоянием системы материальных точек можно понимать совокупность положений и скоростей всех точек системы. Следовательно, величины, определяющие механическое состояние, суть пространственные координаты точки и их первые производные по времени (скорости); только от этих величин зависит механическая энергия системы; когда они заданы, то вообще весь процесс движения и, следовательно, все переменные системы определены как функции времени. В целом, к этим «величинам, определяющим состояние» (кроме уже упомянутых переменных, определяющих механическое состояние) относятся температура, электрическая и магнитная плотность, сила гальванического тока и т. д. Тогда обнаруживается замечательный факт, что первичное выражение энергии выступает в форме суммы, отдельные слагаемые которой составляются из определенных характеризующих состояние величин, соответствующих отдельным частным формам явлений. Тем самым полная энергия сама собой распадается на некоторое число отдельных друг от друга независимых энергий, каждая из которых получается особым образом из отдельных свойств рассматриваемого состояния. Это дает нам повод различать в системе различные виды энергии, как-то: энергию механическую, тепловую, химическую, электрическую, магнитную; суммируя их, мы получаем полную энергию системы. Этот факт, который мы можем назвать принципом наложения друг на друга (суперпозиции) энергий, связан с тем, что многие, происходящие в природе явления протекают совершенно независимо друг от друга: нагревание тела не изменяет его веса, электростатический заряд не влияет на магнетизм и т.д. Мы можем принцип наложения энергий, выражающий обобщение целого ряда хорошо известных в физике законов, принять здесь просто как принцип, данный опытом. Укажем прежде всего на удобство, которое вытекает из принципа суперпозиции энергии для наглядности понятия и для вычисления значения полной энергии. Мы можем представить себе полную энергию системы как запас, возникший в результате простого сложения отдельных энергий, подобно тому как общий вес тела получается из сложения весов отдельных содержащихся в нем химических элементов. При этом можно подсчитать величину каждого отдельного вида энергии самого по себе, совершенно независимо от других свойств рассматриваемой системы, если только известны специфические величины, определяющие состояние, которые этому виду энергии соответствуют. Таким образом мы мысленно отводим каждому виду энергии особое место в материи; тем самым мы получаем практическую выгоду, облегчая рассмотрение отдельных видов энергии и предохраняя себя от ошибки упустить какой-либо из них из виду при вычислении полной энергии. В общем каждой действующей в системе силе или вообще каждому особому свойству системы соответствует особый вид энергии, которую нужно считать находящейся в том же самом месте, в котором это свойство проявляется. Так же как общая масса тела представляется как сумма отдельных масс содержащихся в нем химических субстанций, так и энергия системы составляется сложением отдельных видов энергии, и можно проследить до малейших деталей изменение и превращение этих различных видов энергии, подобно тому как это можно сделать в отношении изменений материи. Если, предположим, мы нашли бы выражение полной энергии как сумму отдельных видов энергии, то мы должны считать ее величину, при всяком изменении изолированной от внешних воздействий системы, независимой от времени, между тем как отдельные виды энергии могут изменяться по величине за счет других видов; следовательно, всякий процесс, происходящий в природе, можно рассматривать как превращение отдельных видов энергии друг в друга, в то время как их сумма, весь запас энергии, находящейся в системе, не может ни увеличиваться, ни уменьшаться. Если в системе существуют только такие силы, которые действуют на неизмеримо малые расстояния, то действие на какую-нибудь материальную частицу будет зависеть только от состояния самой частицы относительно ее непосредственного окружения, и тогда энергия системы получается простым суммированием энергий всех ее материальных частиц. Но иначе получается, когда встречаются силы, непосредственно действующие на расстоянии, так как энергия, обусловленная такой силой, будет зависеть от тех же величин, как и сама сила, следовательно, и от расстояния обоих действующих друг на друга элементов. В этом случае энергия связывается по существу с одновременным положением обоих элементов, следовательно, она не находится в каком-либо одном месте пространства, и нельзя больше положить полную энергию системы равной сумме энергий отдельных материальных элементов; напротив, к этой сумме надо прибавить еще те виды энергии, которые обусловливаются действиями на расстоянии каждой пары элементов. Точно так же как материя, сумма которой остается постоянной, меняет свое положение в пространстве, так и энергия меняет в материи свое положение и свою форму. В этом проявляется во всей своей плодотворности аналогия нашего принципа с принципом сохранения материи. Сумма весомых масс, существующих в природе, является неизменной, но эти массы меняют свое положение в пространстве; следовательно, если мы рассмотрим определенный ограниченный объем пространства, то содержащаяся в нем масса в общем случае не постоянна, но изменение (прирост) этой массы за известный промежуток времени равно массе, вошедшей за это время в объем извне. Совершенно подобное же положение мы выводим для энергии материальной системы. В материальной системе, которая не подвержена никакому внешнему влиянию, энергия остается постоянной. Но если мы выделим из системы любую совокупность материальных элементов и будем рассматривать их как особую систему, то она будет иметь и свою особую энергию, выражение которой может быть составлено аналогично выражению энергии общей системы. Эта энергия в общем случае не будет оставаться постоянной, – это имело бы место только в том случае, если бы рассматриваемая система в течение процесса совершенно не подвергалась воздействию извне, что в общем случае не будет выполняться; поэтому энергия изменяется именно в меру внешних воздействий. Следовательно, через внешние воздействия в систему передается извне энергия в известном количестве: изменение энергии, соответствующее определенному изменению состояния материальной системы, равно работе действий, производимых вне системы, чтобы вызвать это изменение состояния.» [21]

«Между свойствами, общими всем телам, одно должно назваться Геометрическим, – прикосновение. Словами нельзя передать совершенно того, что мы под этим разумеем: понятие приобретено чувствами, преимущественно зрением, и сими-то чувствами мы его постигаем. Прикосновение составляет отличительное свойство тел: ни в силах или времени и нигде в природе более его не находим. Отвлекая все прочие свойства, телу дают название – Геометрического.
Прикосновение соединяет два тела в одно. Так все тела представляем частью одного – пространства. Тело ограничено, когда прикосновение к нему другого – окружающего – делает невозможным прикосновение всякого третьего.
Воображаемое разделение тела на две части будем называть сечением. Соединение двух тел в одно будет вместе сечением в этом одном. Геометрические свойства тел познаем в различном делении их на части. Всякое тело может быть разделено тремя сечениями на 8 частей, которые все касаются взаимно; но далее невозможно уже новым сечением удваивать число частей. Такие сечения назовем тремя главными.
Всякое тело может быть разделено на части, которые не касаются через одну. Такие сечения назовем поступательными; число их не ограничено. Измерять тело значит исчислять одинаковые части, на которые разделяется это тело и другое, принятое за меру, в трех протяжениях поступательными сечениями.
Тело получает название поверхности, когда оно касается другого поверхностно и когда принимают в рассуждение только взаимное прикосновение сих двух тел; а потому дозволяют отбрасывать все части одного, неприкосновенные к другому. Так уничтожается одно из трех протяжений, и так отделением ненужных частей поверхности доходим до тонкости листа бумаги или как далеко может идти воображение.
Линией называется тело, которое касается линейно другого, и от которого дозволяют отбрасывать части, неприкосновенные к этому другому. Так доходим до тонкости волоса, черты от пера на бумаге и пр. С обращением тела в линию уничтожаются два протяжения, потому что линию образуют в пространстве два сечения, к которым поступательные отделяют одни излишние части.
Тело получает название точки, когда рассматривают его прикосновение к другому в точке, а потому дозволяют отбрасывать части первого, неприкосновенные к другому. Так можно доходить до малости песчинки или точки от острея пера на бумаге.
Точка образуется тремя главными сечениями в пространстве, к которым поступательные отделяют одни лишние части: следовательно в точке нет ни одного протяжения.
Сферой называется поверхность, которой все точки от одной – центра – находятся в равном расстоянии. Это расстояние будет полупоперечник сферы. Внутренняя сторона сферы та, где ее центр; другая – внешняя.
Тело, ограниченное сферою, называется шаром, которого центр и полупоперечник то же, что и сферы.
Сфера ограничивает со всех сторон пространство, потому что другая, одноцентрная, находясь вне первой, присоединяет такой слой, который делает уже невозможным прикосновение всякого нового тела к шару первой.
Две сферы около разных центров, входя одна внутрь другой и выходя вон, разделяют пространство на четыре части: одна А принадлежит внутренней стороне той и другой сферы, другая В – внешней обеих, третья G – внешней стороне одной и внутренней другой, а четвертая D – наоборот.
Итак, пересечение двух сфер дает линию, которую называют кругом.
Посему две сферы, пересекаясь, представляют два главных или, что все равно, два обращательных сечения в пространстве. По той же причине три сферы, если пересекаются, представляют три главных сечения.
Плоскостью называется поверхность, в которой лежат все круги от пересечения одинаковых сфер около двух точек – центров происхождения. Плоскость может следовательно продолжаться неограниченно, с увеличением полупоперечников одинаковых сфер.
Внутри всякого круга на плоскости находится точка – центр круга, которой расстояния – полупоперечники – от всех точек круга одинаковы. Всем таким кругам, производящим плоскость, одна только точка может служить центром.
Прямая линия называется та, которая между двух точек сама себя покрывает во всех положениях. Такова в плоскости круга линия, которой точки остаются на месте, когда круг покрывает сам себя другою стороной.
Расстояние двух точек может быть определено прямой линией, по свойству которой всякое расстояние составляется из повторения другого и частей его.
Прямая линия лежит вся в плоскости, как скоро две ее точки на плоскости.
Величина прямой линии определяется сравнением ее с другой.
Подобным образом определяется и величина дуги круга по сравнению ее с окружностью, которой дуга будет часть. Это содержание [отношение] не зависит от величины полупоперечника, но от взаимного положения тех двух полупоперечников, которые проходят чред концы дуги. Чтобы оставить на произвол, какая дуга принимается за единицу, мы будем означать 2π окружность. Так выраженная дуга называется линейным углом или углом тех двух линий, которые, идя чрез концы дуги, встречаются в центре круга.
Плоскостной и телесный углы не зависят от полупоперечника сферы, но от взаимного положения плоскостей, которые идут от центра сферы. Плоскостной угол также не зависит от места, где будет центр сферы на линии пересечения двух плоскостей.
В прямолинейном треугольнике против большего бока лежит угол более, и обратно. Сумма двух боков прямолинейного треугольника более третьего.»