Треугольник Паскаля и скрытые в нём «паск(х)алки» (часть 1)

Известный американский популяризатор науки Мартин Гарднер в своей книге «Математические новеллы» посвятил целую главу «одной из самых изящных и известных схем в истории математики», которую чаще всего принято называть треугольником Паскаля. Эта математическая конструкция, конечно, была известна и до того, как «французский Архимед» написал свой «Трактат об арифметическом треугольнике». Однако на момент издания труда Блеза Паскаля именно в нём содержалась наиболее полная информация об этом математическом явлении. Правда, итальянцы предпочитают называть этот фундаментальный артефакт треугольником Тартальи, описавшем таблицу за сто лет до Паскаля, а в Германии его называют треугольником Штифеля. В Иране и, пожалуй, в большинстве арабских стран его принято называть треугольником Хайяма, а китайцы отстаивают приоритет своего соотечественника и называют его треугольником Ян Хуэя.

Однако самым первым учёным, описавшим этот математический конструкт, был персидский инженер аль-Караджи. Впрочем, неудивительно. В одной из предыдущих статей я уже упоминал о мощнейшем влиянии средневековых арабских учёных на науку. Одним из важнейших вкладов аль-Караджи в математику считается трактат аль-Фахри, также известный как «Книга об алгебре и алмукабале». И хотя есть мнение, что большая часть его трудов являлись творческой переработкой идей других учёных, именно аль-Караджи первым стал отделять алгебру от геометрии, и ему мы все обязаны тем, что в средней школе их изучают раздельно.

Первым историком, обратившим внимание на труды аль-Караджи, стал немецкий математик и востоковед Франц Вёпке. Согласно его исследованию, именно этот персидский учёный дал первую формулировку биномиальных коэффициентов, конструкцией из которых и является треугольник Паскаля. Так что если и отстаивать приоритет, то по факту этот математический артефакт должен по праву называться треугольником аль-Караджи. Однако с точки зрения истории более фундаментальный цивилизационный вклад учёный внёс своими инженерными талантами. Его перу принадлежит старейший сохранившийся труд по гидрологии — «Извлечение скрытых вод», что, впрочем, тоже не очень сильно удивляет и говорит о его практичности.  Видите ли, с водой в тех географических широтах всегда был некоторый напряг, а аль-Караджи, похоже, был более практиком и инженером, чем теоретиком.

Китайский математик Цзя Сянь разработал свою версию треугольника примерно за 500 лет до рождения Паскаля. Труды его не сохранились, но о них упоминает другой китайский математик Ян Хуэй, хотя это тоже не точно, поскольку об этом известно уже от другого математика — Чжу Шицзе. В общем, «Санта-Барбара» отдыхает. Как бы то ни было, споры по этому поводу мне кажутся абсолютно бессмысленными, поэтому в дальнейшем, согласно сложившейся терминологии, оставим всё как есть и будем называть этот математический артефакт треугольником Паскаля.

Треугольник Паскаля представляет собой бесконечный треугольный массив биномиальных коэффициентов, в котором на вершине и по бокам находятся единицы, а каждое число из тела массива равно сумме двух расположенных над ним чисел.

Биномы

Бином — алгебраическое выражение, представляющее собой сумму (или разность) двух членов, скажем (a+b). Ещё Цзя Сянь составил треугольную таблицу биномиальных коэффициентов (a+b)ⁿ до n = 6, о чём нам стало известно из трактата Чжу Шицзе. У аль-Караджи есть разложения (a+b)³, (a-b)³ и (a+b)⁴.

Так как коэффициенты со значением единицы не используются в алгебраических выражениях, 1a записано как a. Также a¹ и b¹ записаны как a и b, a⁰ и b⁰ равняются единице.

Значения в каждом разложении, включающие степени переменных a и b, также следуют определённому шаблону:

Ниже приведены геометрические интерпретации разложений (a+b)² и (a+b)³:

Если мы допустим, что a = b = 1 в выражении (a+b)ⁿ, получим, что сумма каждой строки треугольника Паскаля равна степени 2, а именно 2ⁿ для n = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Если мы допустим, что a = 1 и b = (-1), тогда сумма каждой строки треугольника Паскаля будет равна нулю для n = 1, 2, 3, 4, ..., при этом 0⁰ неопределён. Однако набор чисел в треугольнике подталкивает к предположению, что 0⁰ = 1.

Результат очевиден в строках с нечётными номерами из-за симметрии, но остаётся верным и в строках с чётными номерами.

Блез Паскаль умер в 1662 году в относительно молодом возрасте 39 лет, хотя к тому времени он успел внести весомый вклад как в математику, так и в другие области знания. Начиная с 1650 года после серьёзного ухудшения здоровья, Паскаль по совету врачей стал вести более светский образ жизни, что привело его к знакомству с Антуаном Гомбо, видным салонным мыслителем и математиком-любителем. Хотя математика его интересовала строго определённого толка. Гомбо был страстным игроком и в определённый момент времени сформулировал две классические проблемы теории вероятностей. Первая это задача об игральных костях, вторая — проблема распределения очков, которая также известна как проблема разделения ставок. Гомбо озвучил свои идеи в салоне Мерсенна, на базе которого спустя несколько лет была образована Парижская академия наук. Задачами заинтересовались как Паскаль, так и Пьер Ферма. Совместная работа и переписка учёных считается одной из фундаментальных основ современной академической теории вероятностей.

На основе проведённой работы Паскаль опубликовал «Трактат об арифметическом треугольнике», после которого этот математический артефакт и стали связывать с именем Паскаля. Переписка Паскаля и Ферма была опубликована в 1679 году и вместе с трактатом укрепила репутацию Паскаля как одного из основателей теории вероятностей. Треугольник Паскаля содержит множество замечательных закономерностей, связей и последовательностей, связанных с алгеброй и статистикой, и в этой статье я хочу рассмотреть некоторые из них.

Последовательности по диагоналям

Во второй диагонали треугольника любого направления размещаются натуральные числа, а следующие две диагонали содержат треугольные и тетраэдральные числовые последовательности.

Треугольные, как и тетраэдральные числа, являются частью класса фигурных чисел, которые широко используются в теории чисел и комбинаторике.

Третья диагональ треугольника Паскаля содержит набор треугольных чисел. Два равных прямоугольных треугольника можно соединить, образуя квадрат. Аналогичным образом суммирование последовательных пар треугольных чисел создаёт набор квадратных чисел, и поэтому последовательность квадратных чисел также можно считать содержащейся в третьей диагонали.

Формулу для нахождения суммы треугольных чисел первым вывел Ян Хуэй. Само треугольное число находится из выражения , а сумма n значений из формулы , где n = 1, 2, 3, 4, ... — порядковый номер треугольного числа.

Квадратные числа также можно найти в треугольнике Паскаля, вычислив произведение шести чисел, окружающих любое внутреннее число.

Последовательность тетраэдральных чисел, находящихся в четвёртой диагонали треугольника, входит в подмножество пирамидальных чисел. Геометрически такие числа представляются в трёх измерениях и также могут быть получены из треугольных чисел. Они показаны на рисунке в виде пирамиды сфер с треугольным основанием. Алгебраически эти числа описываются степенным рядом приведённым ниже.

Одной из особенностей этого подмножества чисел является то, что все тетраэдральные числа чётные, кроме каждого четвёртого. На рисунке представлены первые пять тетраэдральных чисел в виде пирамиды.

Пятая диагональ треугольника содержит числа пентатопа: 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, ...

Числа пентатопов представляют собой суммы тетраэдральных чисел, которые в свою очередь являются суммами треугольных чисел. Общая формула пентатопов

Степенной ряд пентатопов:

Wolfram Mathworld описывает пентатоп как простейшую правильную фигуру в четырёх измерениях, представляющую собой четырёхмерный аналог тетраэдра. Его ещё называют пятиячейником или пентахором.

Некоторые другие паттерны

В начале статьи я писал, что сумма чисел в каждой строке равна степеням двойки. Числа, полученные объединением цифр в первых пяти строках треугольника, являются степенями 11:

С помощью обратной конкатенации и суммирования некоторых пар цифр мы получаем дальнейшие степени…

Когда второе число в строке и, соответственно, из симметрии треугольника предпоследнее, являются простыми, все числа между ними кратны этому простому числу.

Ещё можно выделить последовательности «хоккейных» клюшек. Начиная с любой единицы и переместившись вниз по диагонали на любое количество рядов, получим, что сумма всех взятых чисел равна числу в следующей строке обратной диагонали.

Фибоначчи и Люка в треугольнике Паскаля

Леонардо Пизано, ныне широко известный как Фибоначчи, родился в Пизе, где он также жил на момент своей смерти. Он получил образование в Северной Африке, поскольку его отец работал там, представляя купцов Пизанской Республики, когда они торговали в средиземноморском порту Бугия в Алжире. Ныне город называется Беджайя.

Фибоначчи вернулся в Пизу примерно в 1200 году, где написал ряд важных книг. Что интересно, все труды математика носили весьма практический характер и были написаны довольно простым языком, что не могло не повлиять на их популярность. Его книга Liber abaci (Книга абака или книга счёта) представила индийско-арабскую десятичную систему счисления и арабские цифры, которые мы сейчас используем. Очень подробный трактат по алгебраическим методам и проблемам, в которых настоятельно рекомендуется использовать именно эту систему счисления для ведения торговых операций. До этого в Европе повсеместно использовалась гораздо менее удобная для вычислений римская нотация. В Liber abaci рассматривались математические бизнес-приложения системы, то есть по большей части это были примеры ведения коммерческой бухгалтерской отчётности, преобразования мер и весов, вычисления процентов, обмена денег и многие другие операции, необходимые в то время в бизнесе. Труды Фибоначчи способствовали развитию банковской сферы и бухучёта в Европе. Фибоначчи теперь больше всего помнят именно за популяризацию Modus Indorum (метод индийцев), сегодня известный как индийско-арабская система счисления или позиционная запись с десяткой в основании. А также выведенную им последовательность чисел, которая появилась в третьем разделе Liber abaci как задача о кроликах.

Задача рассматривает развитие идеализированной популяции кроликов. Изначально имеется новорождённая пара кроликов, которые со второго месяца после своего рождения начинают спариваться и производят новую пару кроликов каждый месяц, при этом кролики не умирают. Задача сводится к нахождению количества пар кроликов за год. Полученная последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Хотя эта задача возникла задолго до Леонардо, её включение в книгу является причиной того, что последовательность названа в его честь французским математиком Эдуардом Люка. Правда, существует мнение, что на самом деле вычисление последовательности Фибоначчи было вдохновлено широким распространением пчеловодства в Беджайе, которая на то время являлась крупным экспортёром воска. Одним из важнейших свойств последовательности является его связь с золотым сечением φ.

φ — иррациональное число и является положительным решением квадратного уравнения x²– x – 1 = 0. Следовательно, поскольку оно является корнем целочисленного многочлена, он не трансцендентно, в отличие, например, от π.

Действительно, сходимость к φ остаётся верной, если мы начнём с любой пары натуральных чисел и будем следовать той же схеме, где любой член после второго представляет собой сумму двух предыдущих членов.

В Liber abaci были также включены и другие задачи по арифметике — о совершенных числах, китайская теорема об остатках и о сумме арифметических и геометрических рядов. Ещё его авторству принадлежит книга по геометрии Practica geometriae (Практика геометрии), но, возможно, самой впечатляющей работой была Liber Quadratorum (Книга квадратов), в которую он включил методы нахождения пифагоровых троек. Задачи, предложенные математиком в своих работах, в оригинальном или слегка изменённом виде продолжали использоваться в математической литературе ещё несколько сотен лет, включая работы Пачоли, Эйлера, Магницкого и других.

Последовательность Фибоначчи можно найти в треугольнике Паскаля, и невозможно поверить, что это просто совпадение. Чтобы наглядно увидеть последовательность Фибоначчи, изобразим треугольник прямоугольным.

Золотое сечение просматривается повсеместно, особенно в искусстве, музыке и архитектуре. Например, многие струнные музыкальные инструменты в своих формах почти всегда обнаруживают золотое сечение. На рисунке ниже «Леди Блант», самая дорогая скрипка Страдивари. Показаны пропорции, связанные с золотым сечением. Чтобы мой рассказ был менее сумбурен, к ней я ещё вернусь в конце статьи и добавлю несколько интересных фактов.

Числа Люка в треугольнике Паскаля

Этот французский математик много работал над теорией чисел, особенно интересовался последовательностью Фибоначчи и разработал тест простых чисел Мерсенна, который используется до сих пор. Люка первым рассмотрел ряд линейных рекуррентных последовательностей, позже названных его именем, частным случаем их является и последовательность Фибоначчи. Числа Люка, которые также являются частным случаем этих рекуррентных последовательностей, начинаются с пары чисел 2 и 1, генерируются схожим образом, что и последовательность Фибоначчи: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, ...

Профессор Люка также является автором одной из самых популярных головоломок, так называемой Ханойской башни.

Между последовательностью Фибоначчи и Люка существует ряд связей. Третий член чисел Люка равен сумме первого и третьего числа Фибоначчи, четвёртый – сумме второго и четвёртого, пятый – сумме третьего и пятого, и т. д.

С помощью некоторых манипуляций с треугольником Паскаля и базовой арифметики числа Люка также находятся в треугольнике начиная со второго числа Люка. Построим треугольник как на рисунке ниже и суммируем столбцы, чтобы получить последовательность Фибоначчи.

Теперь умножим каждое число Паскаля на номер его столбца и разделим на номер строки, начиная с первой строки и первого столбца, а затем просуммируем результаты записей в каждом столбце. Первые несколько расчетов ниже.

В целом, формула (1) выражает числа Фибоначчи, а формула (2) — числа Люка, φ определяется формулой (3), где Ln и Fn числа Люка и Фибоначчи, соответственно.

В заключении статьи, как обещано, вернёмся к «Леди Блант». Как я уже неоднократно упоминал в своих статьях, интересная история всегда подтягивает за собой несколько других, и этот факт не может не удивлять, поскольку порой взаимосвязанность историй просто ставит в тупик. Как же это происходит?

Так вот напишу пару строк об этом. Этот инструмент является одним из двух лучше всего сохранившихся скрипок Страдивари, и на последнем аукционе её цена достигла почти 10 миллионов фунтов стерлингов. Своё имя скрипка получила в честь одной из первых известных владелиц — английской аристократки Энн Блант. Что меня больше всего зацепило, так это то, что баронесса Вентворт была внучкой лорда Байрона и, соответственно, дочерью знаменитой в наших кругах Ады Лавлейс, считающейся первым программистом в истории. О ней на Хабре написано множество статей, например 1, 2, 3 и 4, но материалов существенно больше и никому не составит труда их найти. На этом интересном факте я заканчиваю эту статью, хотя треугольник Паскаля хранит в себе ещё немало секретов, о которых я напишу в следующий раз.

НЛО прилетело и оставило здесь промокод для читателей нашего блога:
-15% на заказ любого VDS (кроме тарифа Прогрев) — HABRFIRSTVDS.