Существует определённый круг предметов и явлений, по отношению к которым люди чётко делятся на две категории. Услышав про некое Х, представители первой категории спросят:«А что такое Х? Возможно, я что-то слышал об этом, но ничего конкретного не припоминаю.» Те же, кто относится к категории второй, выдохнут:«О-о, то самое Х!» — и глаза у них загорятся слегка нездоровым энтузиазмом. Только две категории. Никаких полутонов не предусмотрено.

Отличным примером такого явления может служить белорусская компания Apus Software и их серия компьютерных карточных игр, большая часть которых содержит в своём названии слово Astral. Начиная с олдовой Astral Tournament, которая, будь она человеком, в прошлом году уже могла бы получить паспорт, и заканчивая недавно вышедшей Astral Heroes, в которой лучшее из прошлых игр соединилось с лучшим из того, чего в них не было, Apus Software исправно сдают карты тем картёжникам, кому эльфы и единороги милее карманной пары и ловленного мизера.



В далёких уже две тысячи нулевых, коротая ночи за «Турниром в Астрале», вряд ли я мог представить, что когда-нибудь стану брать интервью у его создателя. Однако жизнь — удивительная штука, и сегодня у моего (метафорического, конечно) микрофона — сам Иван Поляков, более известный как Cooler.

Как вам, возможно, известно, спецификация языка JavaScript не предписывает какой-то определённой реализации метода sort у массивов. Алгоритм, находящийся «под капотом», может отличаться (и отличается) в различных браузерах. Теоретически, можно представить себе ситуацию, когда от того, как именно реализована сортировка массивов в конкретном движке, зависит производительность вашего веб-приложения.
Если речь идёт о браузере с открытым исходным кодом, то можно просто открыть этот код и посмотреть, какой там использован алгоритм. Однако существуют браузеры с закрытым исходным кодом (не будем показывать пальцем). Что делать в таком случае?

Поскольку мы на Хабре, я готов предположить, что некоторые читатели уже потянулись к своим любимым дизассемблерам, в то время как некоторые другие готовятся звонить своим друзьям из одной небольшой и нетвёрдой компании. Однако сегодня мы не будем копаться в машинном коде или использовать инсайдерскую информацию. Мы будем смотреть весёлые картинки.

«10.01 х 10.01 = 1000.1001»
Джордж Оруэлл. «1010001001001000.1001001000100001»



Существует ли позиционная система счисления с иррациональным основанием, в которой все натуральные числа записываются конечным числом цифр? В которой число больше единицы, не имеющее цифр после запятой, наверняка не целое и даже не рациональное? В которой 1 + 10 = 100, а 1 + 1 = 10.01?

24 марта сего года произошло событие, которого мы все так давно ждали: в сервисе цифровой дистрибуции компьютерных игр Steam вышел очередной шедевр польского игростроя — Hydra Slayer. И хотя шедевр этот местами кривоват, да и ждали его далеко не все, а скорее три с половиной человека, всё же я полагаю его достойным своей статьи на Хабре. «Постойте-ка, любезный автор, — воскликнет сейчас человек по другую сторону монитора от меня, — а не спутали ли вы часом столь уважаемый сайт, как Хабрахабр, с каким-нибудь игровым порталом, где юноши от четырнадцати лет и младше делятся своими успехами в Майнкрафте, обильно используя ненормативную лексику?». Нет, не спутал. Этому материалу суждено особое место в хабе «Математика».

Если вы, уважаемый мой читатель, имеете обыкновение проводить много времени в интернете, вы наверняка уже видели эту картинку с цитатой:



Наверняка также вы задавались вопросом: что, чёрт подери, здесь написано? Формула из этой цитаты интересна тем, что у человека, имеющего высшее математическое образование, этот вопрос возникает столь же неумолимо, как и у любознательного семиклассника. У нелюбознательных семиклассников несколько иной круг интересов, выходящий за рамки данной статьи; однако даже они не откажут себе в удовольствии похихикать над «этими чокнутыми ботаниками», или как оно там формулируется на современном молодёжном сленге.

В нижеследующем тексте я раскрою перед вами тайну этого загадочного сочетания символов. Пожалуйте под кат, однако помните поучительную историю о любопытной Варваре, которой на базаре рассказали про парадокс Банаха-Тарского, отчего она сошла с ума, разрезала себе нос на конечное количество частей и склеила из них рогатую сферу Александера.

Они объясняли мне: «У тебя есть апельсин, так? Теперь ты разрезаешь этот апельсин на конечное количество кусочков, складываешь их обратно в апельсин, и он становится таким же большим как солнце. Истина или ложь?»
— Между кусочками нет пространства? — Нет.
— Невозможно! Такого просто не может быть.
— Ха! Попался! Идите все сюда! Это теорема Того-то о безмерной мере!
И когда им кажется, что они поймали меня, я напоминаю им: «Но вы сказали апельсин! А апельсиновую кожуру невозможно разрезать на кусочки тоньше атомов».
— Но у нас есть условие непрерывности. Мы можем резать бесконечно!
— Нет, вы сказали апельсин, поэтому я принял, что вы имеете в виду настоящий апельсин.
Так что я всегда выигрывал. Если я угадывал — здорово. Если не угадывал, то всегда мог найти в их упрощении что-то, что они упускали из виду.

Ричард Фейнман. «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!»

Пролог

Так получилось, что с самого детства я увлекаюсь занимательными задачами. Решал я их, как правило, хорошо и быстро, хотя не обходилось и без курьезов. Например, на олимпиаде по математике за седьмой класс, куда я попал, будучи в шестом, была задача: найти такой-то угол в треугольнике, обладающем такими-то свойствами. Мои познания в области геометрии были на тот момент весьма отрывочны, однако кое на что их всё же хватило. Недолго думая, я построил этот треугольник в тетради с помощью циркуля и линейки, а затем измерил нужный угол транспортиром. Это было практически как в том анекдоте про «найдите икс», когда ученик ткнул в букву «x» пальцем с радостным криком «вот он!».

Добрый день, любезные хабражители. Как, быть может, некоторые из вас помнят, в предыдущем посте я грозился показать, как конструируется нормальное число, доказательство нормальности которого возможно провести элементарными средствами. К сожалению, у меня целый месяц не было возможности написать этот пост вследствие неожиданного перехода моего аккаунта в режим рид-онли. Однако теперь я вернулся, так сказать, отдохнувшим и могу приступить к выполнению обещания.

Если вы знаете, что такое нормальные числа, и вам интересно, как их строить — пожалуйте под кат. Если вы не знаете, что такое нормальные числа — прочитайте предыдущую статью (ссылка выше), затем пожалуйте под кат. Если же вам неинтересно, как строить нормальное число — всё равно пожалуйте под кат, потому что там я буду рассказывать про циклы де Брёйна, которые сами по себе очень интересные штуки.

Не так давно попалась мне на глаза великолепная юмористическая статья про файловую систему, хранящую данные в числе Пи. Бурное обсуждение, развернувшееся в комментариях (кажется, не все его участники поняли шутку), натолкнуло меня на мысль, что тему нормальных чисел неплохо бы обсудить более серьёзно, тем более что тема эта благодатна, полна красивых результатов, нерешённых проблем и прочих кошерных вещей. Если желаете с этими вещами ознакомиться — пожалуйте под кат.

Добрый день, уважаемые хабровчане. Проснувшись сегодня в четырнадцать часов утра, я обнаружил на хабре две статьи: Правительство США предало интернет. Нам надо вернуть его в свои руки и Как конкретно освободить интернет. Скажу прямо, их посыл меня удивил до такой степени, что я решил создать этот пост, даже не допив утренний чай.

Я чувствую себя весьма неудобно, оказавшись вынужденным спорить с Брюсом Шнайером. Но есть мнение, что он, несмотря на свой огромный авторитет, сейчас критически не прав.

Первая часть
Первая часть второй части
Вторая часть второй части

Ну что ж, господа, пора заканчивать. В последней статье цикла (название которой разрывает мой ещё толком не проснувшийся шаблон) мы поставим жирную точку в истории этой задачи. Несмотря на то, что в комментариях ко второй части был предложен более удобный и универсальный способ это сделать, я всё же воспользуюсь инструментарием, разработанным лично мной ещё до написания первой из статей. Во-первых, не пропадать же добру, а во-вторых, я думаю, все понимают, что задача — это просто повод порисовать красивые чертёжики в GeoGebra и запостить их на хабр. Ну, как говорится, понеслась.

Первая часть
Первая часть второй части

Майские праздники продолжаются, количество употреблений слова «часть» на строку текста зашкаливает, а мы с вами, дорогие читатели, наконец прикончим случай поворота с центром внутри фигуры.

С первой частью можно невозбранно ознакомиться здесь.

Итак, дорогие друзья, в предыдущей части мы с вами поговорили о параллельном переносе, а сегодня займёмся поворотом. Это будет интересно. Сейчас быстренько вспомним основные понятия — и вперёд.

Задачи на разрезание — это та область математики, где, как говорится, мамонт не валялся. Множество отдельных проблем, но по сути нет общей теории. Помимо всем известной теоремы Бойяи-Гервина, других фундаментальных результатов в этой области практически нет. Неопределённость — вечный спутник задач на разрезание. Мы можем, например, разрезать правильный пятиугольник на шесть частей, из которых можно сложить квадрат; однако мы не можем доказать, что пяти частей для этого было бы недостаточно.

С помощью хитрой эвристики, воображения и поллитры нам порой удаётся найти конкретное решение, но, как правило, мы не обладаем подходящим инструментарием, чтобы доказать минимальность этого решения или же его несуществование (последнее, разумеется, относится к случаю, когда мы решение не нашли). Это печально и несправедливо. И как-то раз я взял чистую тетрадку и решил восстановить справедливость в масштабах одной конкретной задачи: разрезания плоской фигуры на две равных (конгруэнтных) части. В рамках этого цикла статей (их, кстати, будет три) мы с вами, камрады, рассмотрим вот этот забавный многоугольник, изображённый ниже, и попытаемся беспристрастно разобраться, можно ли разрезать его на две равных фигуры, или же таки нет.

Один и один — получается два. Все одиноки — здесь ты, а там я.
Люди всегда одиноки вдвойне сами с собою наедине.
Если б их что-то сблизить могло, сразу б из двух получилось одно.
Пусть математика сложит сердца — чтобы проделать нам путь до конца.

Уильямс Джей, «Герои Ниоткуда»

Вероятно, пост следовало назвать «Как нарисовать анимированное сердечко ко дню Святого Валентина, используя математику не по назначению». Я отверг это название в пользу более поэтичного: как-никак, надвигается замечательный романтический праздник, который мы, айтишники и прочие нёрды, должны встретить во всеоружии. Я сразу покажу вам результат, а под хабракатом будет много букв о том, как я этого результата достиг.

Должен признаться, что я плохой программист. Я не люблю настраивать Maven и писать конфигурации для Spring Framework. Я не знаю в деталях, как работает JVM (да и в общих чертах представляю это себе довольно смутно). Я плохо понимаю паттерны проектирования, а любая новая технология вводит меня в уныние. И тем не менее, я люблю программировать.

Специально для таких как я (а может, и для каких-то других) существует небольшой класс игр, представляющих собой квинтэссенцию программирования. В них не нужно скрещивать ежа с ужом и беспокоиться о версиях библиотек. Лишь кристально чистое алгоритмическое программирование, обёрнутое в симпатичный интерфейс — вот моё маленькое счастье.

Минуточку внимания.

Я не стану говорить о Robot Battle и тому подобных вещах. Вот не стану и всё. Возможно, я странный человек, но мне не нравится иметь дело с чем-то, хоть отдалённо напоминающим реальную физику. Интересующиеся могут почитать об этой игре здесь, а статья немного о другом.

Все началось, когда появился Грендель.

Двадцатого марта 20** года в глобальной сети Интернет царил хаос. Звонкой мартовской капелью падали сервера; базы данных таяли, как тонкий весенний лёд. Всемирная Паутина оказалась разодрана в клочья меньше, чем за полтора часа. Антивирусные мониторы были бесполезны. Фаерволлы — бессмысленны. Невиданный вирус, словно чума, признавал лишь одну защиту: полную изоляцию. Подобно демону преисподней, он возник из смрадного Ниоткуда — и вернулся туда ровно через один час двадцать четыре минуты, не оставив после себя байта на байте.

Наверное, каждый из хабровчан хотя бы раз в жизни слышал это выражение. Действительно, что может быть проще? Однако я знавал преподавателя математического анализа, который, услыхав подобное, ехидно улыбался в усы и предлагал доказать этот факт. После этого у говорившего обычно случался когнитивный диссонанс.

И действительно, как же доказать, что 2 × 2 = 4? Ответ под хабракатом.

Дисклеймер

Данная статья не содержит ничего нового для читателей с серьёзным математическим образованием. Также, вполне вероятно, она будет неинтересна людям с чисто инженерным складом ума. Этот текст писался в расчёте на тех, кому интересны основания математики, но кто до сих пор не нашёл времени и сил в них разобраться.

Есть у меня любимый форум, посвящённый головоломкам. Недавно я наткнулся там на следующую задачу:

Сидел однажды Вася у себя на кухне и от нечего делать спички ломал. Поломал, поломал и задумался — чему равна вероятность того, что по крайней мере одна спичка будет переломана точно посередине? Запас спичек у Васи неограничен.

Я довольно быстро доказал, что вероятность этого события равна нулю. Гордый собой, я запостил решение и ответ, ожидая плюсика в карму. Оказалось, однако, что авторский ответ совсем другой: 1 — 1/e. Забегая вперёд, скажу, что этот ответ неверен.

Неправильные авторские решения — довольно частое явление в интернет-головоломках. И я ни за что не стал бы писать этот пост, если бы автором задачи, а также её неверного решения, не был британский логик и алгебраист Чарльз Л. Доджсон, более известный под псевдонимом Льюис Кэрролл.