Прочитал недавно заметку «15 Вопросов на собеседовании в Google, из-за которых вы можете почувствовать себя глупым» в интернете и самый же первый ответ на самый первый вопрос мне не понравился. Человек я дотошный, поэтому решил математически вычислить количество тех самых шариков для гольфа.
Там читатель берет объем автобуса, делит на объем шарика и получает количество шаров. Вычитает, правда, какое-то количество, учитывая, что там есть «сиденья и прочая ерунда, занимающая свободное место, а также сферическая форма мяча означает, что будет достаточно много свободного места между ними». Правильно ли он учел?
Давайте разберемся.
Представим себе коробку размерами 20х20х20 см и шарики диаметром 10 см. В такую коробку поместится 8 шаров:
А вы знаете, что, увеличив каждую сторону коробки всего лишь на ~1,5 см, можно поместить туда 9-й шар? Куда? Конечно же, в самый центр. Именно так шарики и «стремятся» расположиться в любом пространстве.
Давайте все математически подсчитаем. Чтобы было понятней, начнем с плоскости.
Пусть d — диаметр круга, D — расстояние между кругами по диагонали. Теперь вычислим, насколько нам нужно увеличить D, т.е. расстояние между кругами, чтобы между ними поместился еще один круг:
Не будем углубляться в формулы, нам на помощь придет электронная таблица:
За диаметр круга d возьмем 10 см, сразу вычислим D, пустое пространство между кругами тогда равно D-d. Нам нужно увеличить это пространство, чтоб «впихать» туда еще один круг: D2=d-(D-d)=2d-D. Проекция на одну из осей, например х, будет равна D2x, или D2, деленное на корень из 2. Чудесным образом, D2x=D-d. Как мы видим, нам нужно увеличить стороны квадрата на 4,14 см, чтоб увеличить кол-во кругов на 1.
Перейдем в реальность — в 3D:
Расстояние между противоположными шарами стало больше, а разница D3, т.е. кол-во см, на которое нужно увеличить это расстояние, чтоб туда поместился еще шар, — меньше. В проекции на ось это расстояние еще меньше. Как я и говорил в начале, нам нужно увеличить каждый размер коробки всего лишь на 1,547005 см.
Но для чего все это? А для того, чтоб вычислить соотношение объема шаров к объему коробки. В коробке с 8 шарами это соотношение = 0,5235, с 9 шарами = 0,4711. Но чем больше шаров, тем это соотношение будет точней. Вычислим его.
В коробку с 2х2х2 шарами мы можем «впихнуть» еще шар, с 3х3х3 еще 8 (здесь соотношение объемов = 0,5056), с 4х4х4 еще 27 шаров (соотношение = 0,5355)…
И опять на помощь приходит электронная таблица:
В коробке с 10х10х10 шарами (или, точнее, 1729 шарами), соотношение, как мы видим = 0,6123. Т.е. шары занимают примерно 61% объема коробки.
Не будем дальше мелочиться, а представим коробку 1 млн.х1 млн.х1 млн. шаров:
Видим, что шары занимают 68,02% от объема коробки. Дальше увеличивать смысла нет, т.к. дальше пойдет уже ненужная точность.
Вернемся кнашим баранам автобусу. Пусть 500000 шаров, как мне кажется, будут с учетом сидений, а также того, что уровень пола в автобусе находится не на отметке +0,0 м, но без «сферической формы мяча». А вот с учетом всех поправок, количество шариков для гольфов в школьном автобусе = 500000 х 0,68017 = 340087
Вот так вот!
Там читатель берет объем автобуса, делит на объем шарика и получает количество шаров. Вычитает, правда, какое-то количество, учитывая, что там есть «сиденья и прочая ерунда, занимающая свободное место, а также сферическая форма мяча означает, что будет достаточно много свободного места между ними». Правильно ли он учел?
Давайте разберемся.
Представим себе коробку размерами 20х20х20 см и шарики диаметром 10 см. В такую коробку поместится 8 шаров:
А вы знаете, что, увеличив каждую сторону коробки всего лишь на ~1,5 см, можно поместить туда 9-й шар? Куда? Конечно же, в самый центр. Именно так шарики и «стремятся» расположиться в любом пространстве.
Давайте все математически подсчитаем. Чтобы было понятней, начнем с плоскости.
Пусть d — диаметр круга, D — расстояние между кругами по диагонали. Теперь вычислим, насколько нам нужно увеличить D, т.е. расстояние между кругами, чтобы между ними поместился еще один круг:
Не будем углубляться в формулы, нам на помощь придет электронная таблица:
За диаметр круга d возьмем 10 см, сразу вычислим D, пустое пространство между кругами тогда равно D-d. Нам нужно увеличить это пространство, чтоб «впихать» туда еще один круг: D2=d-(D-d)=2d-D. Проекция на одну из осей, например х, будет равна D2x, или D2, деленное на корень из 2. Чудесным образом, D2x=D-d. Как мы видим, нам нужно увеличить стороны квадрата на 4,14 см, чтоб увеличить кол-во кругов на 1.
Перейдем в реальность — в 3D:
Расстояние между противоположными шарами стало больше, а разница D3, т.е. кол-во см, на которое нужно увеличить это расстояние, чтоб туда поместился еще шар, — меньше. В проекции на ось это расстояние еще меньше. Как я и говорил в начале, нам нужно увеличить каждый размер коробки всего лишь на 1,547005 см.
Но для чего все это? А для того, чтоб вычислить соотношение объема шаров к объему коробки. В коробке с 8 шарами это соотношение = 0,5235, с 9 шарами = 0,4711. Но чем больше шаров, тем это соотношение будет точней. Вычислим его.
В коробку с 2х2х2 шарами мы можем «впихнуть» еще шар, с 3х3х3 еще 8 (здесь соотношение объемов = 0,5056), с 4х4х4 еще 27 шаров (соотношение = 0,5355)…
И опять на помощь приходит электронная таблица:
В коробке с 10х10х10 шарами (или, точнее, 1729 шарами), соотношение, как мы видим = 0,6123. Т.е. шары занимают примерно 61% объема коробки.
Не будем дальше мелочиться, а представим коробку 1 млн.х1 млн.х1 млн. шаров:
Видим, что шары занимают 68,02% от объема коробки. Дальше увеличивать смысла нет, т.к. дальше пойдет уже ненужная точность.
Вернемся к
Вот так вот!