28 сентября viktorpanasiuk опубликовал задачу, решение которой призвано снизить издержки производства небезизвестной кондитерской фабрики, сделав её товар более конкурентноспособным на рынке и более доступным покупателю.
Необходимо было найти максимально допустимое отклонение массы конфеты при ее производстве, чтобы нетто коробки, состоящей из 12 штук их, не выходило за пределы 310±7 грамм в 90% случаев. Закон распределения считать нормальным.
Был получен ответ, что если среднеквадратичное отклонение
массы конфеты при производстве не превышает 
=1,2248, то данная величина не ограничена сверху.
Под катом вас ожидает улучшение полученного результата по модулю некоторых, как мне кажется — разумных, предположений. Дальнейшее изложено недостаточно строго, но всё же требует знаний математического анализа и теории вероятности в объёме технического вуза.
Пусть масса коробки — нормально распределенная случайная величина. Пусть массы конфет это одинаковые независимые в совокупности абсолютно непрерывные случайные величины, с математическим ожиданием 310/12. Пусть при этом плотность распределения является симметричной относительно математического ожидания и не возрастает правее математического ожидания (соответственно не убывает левее). Пусть среднеквадратичное отклонение масс конфет и 
.
Оценим снизу максимально допустимое отклонение массы конфеты
.
Так как математическое ожидание масс конфет на решение не влияет, в дальнейшем я буду оперировать центрированными случайными величинами.
Очевидно, при
требуемуе условие будет выполнено с вероятностью 1. Ниже я покажу как данная оценка может быть улучшена до 
.
Пусть f — плотность распределения массы конфеты. Тогда в силу определения условной вероятности новая плотность распределения будет иметь вид:
.
При этом новая случайная величина должна иметь среднеквадратичное отклонение.
Разрешив полученное уравнение относительно получаем нужную нам оценку при известной плотности распределения f.
Для дальнейшего рассуждения понадобится лемма:
Доказательство:
чтд.
Заметим, что если при x<a есть множество положительной меры где f(x)>f(a) или при a <x < a 3^(1/2) есть множество положительной меры где f(x) < f (a) то неравенство в формулировке леммы будет строгим.
Легко показать, что если f — плотность распределения равномерной случайной величины с математическим ожиданием 0 и, то .
Тогда, применив лемму, получаем что если распределение массы конфет неизвестно, но принадлежит описанному классу то
.
Что ещё можно сделать: оценить применимость ЦПТ (через критерий хи квадрат или неравенство Берри — Эссеена), найти на сколько полученная оценка хуже оптимальной при известных распределениях.
Спасибо тем кто дочитал до конца. Любите математику.
Необходимо было найти максимально допустимое отклонение массы конфеты при ее производстве, чтобы нетто коробки, состоящей из 12 штук их, не выходило за пределы 310±7 грамм в 90% случаев. Закон распределения считать нормальным.
Был получен ответ, что если среднеквадратичное отклонение
массы конфеты при производстве не превышает =1,2248, то данная величина не ограничена сверху.Под катом вас ожидает улучшение полученного результата по модулю некоторых, как мне кажется — разумных, предположений. Дальнейшее изложено недостаточно строго, но всё же требует знаний математического анализа и теории вероятности в объёме технического вуза.
Пусть масса коробки — нормально распределенная случайная величина. Пусть массы конфет это одинаковые независимые в совокупности абсолютно непрерывные случайные величины, с математическим ожиданием 310/12. Пусть при этом плотность распределения является симметричной относительно математического ожидания и не возрастает правее математического ожидания (соответственно не убывает левее). Пусть среднеквадратичное отклонение масс конфет
и .Оценим снизу максимально допустимое отклонение массы конфеты
.Так как математическое ожидание масс конфет на решение не влияет, в дальнейшем я буду оперировать центрированными случайными величинами.
Очевидно, при
требуемуе условие будет выполнено с вероятностью 1. Ниже я покажу как данная оценка может быть улучшена до .Пусть f — плотность распределения массы конфеты. Тогда в силу определения условной вероятности новая плотность распределения будет иметь вид:
.При этом новая случайная величина должна иметь среднеквадратичное отклонение
.Разрешив полученное уравнение относительно
получаем нужную нам оценку при известной плотности распределения f.Для дальнейшего рассуждения понадобится лемма:
Доказательство:
чтд.
Заметим, что если при x<a есть множество положительной меры где f(x)>f(a) или при a <x < a 3^(1/2) есть множество положительной меры где f(x) < f (a) то неравенство в формулировке леммы будет строгим.
Легко показать, что если f — плотность распределения равномерной случайной величины с математическим ожиданием 0 и
, то .Тогда, применив лемму, получаем что если распределение массы конфет неизвестно, но принадлежит описанному классу то
.Что ещё можно сделать: оценить применимость ЦПТ (через критерий хи квадрат или неравенство Берри — Эссеена), найти на сколько полученная оценка хуже оптимальной при известных распределениях.
Спасибо тем кто дочитал до конца. Любите математику.