Несколько подходов к суммированию

Чтобы в этом убедиться, разобьём -й гекс на "концентрических" слоёв: первый слой - центр из одной точки, на втором слое 6 точек, на третьем - , на -м - . Итого, число точек на -м гексе равно

Это утверждение, конечно, верно, но хотелось бы увидеть его обоснование.

ИМХО все методы «доказательства» – жульничество: подгон нехитрых алгебраических формул под результат.
Аргументирую.

Вы сообщаете: «каждый следующий гекс получается из предыдущего добавлением одного слоя точек»

По каким правилам «строятся» т.н. «слои»? что это за объекты?
Об этом ничего не сказано. А правила получения множества этих объектов далеко не очевидны.
Вы начинаете комбинировать множество именно геометрических (пространственных) объектов, которые на каждом «шаге» построения сохраняют следующие инварианты:
а) количество углов у полученных фигур, начиная со второй, сохраняется и равно 6-ти
б) периметр т.н. «слоя» (что и определяет количество точек на нем) выбирают так, что расстояния между «угловыми» точками периметров каждых прилегающих друг к другу «слоев» – неизменны, так же неизменны и равны расстояния между точками на всех периметрах (без условия б) – все ломается)

Очевидно, что изучение свойств геометрических (пространственных) объектов следует вести через использование аппарата геометрии (ввод метрик, выделение инвариантов, анализ движений, итд.) с выходом в алгебру (алгебры) там, где это необходимо.

В статье же сделан подбор алгебраических формул, под конкретный случай (ряд). Это не объясняет и не доказывает существование закономерности. Это лишь тождество вида «А = А».

Жаль, что автор не упомянул о фигурных числах вообще, хотя этим ещё античные математики занимались. По поводу «гексов» даже в русской вики есть отдельная статья.