Comments 24
Пост может быть и не технический, а математический, но это идеально для хабра!
Для исправления неточности нужно обратиться к физике, и поискать какая модель лучше описывает трение жидкости о твёрдое тело. Скорее всего сухое трение, не зависящее от скорости, подходит лучше, чем вязкое трение внутри жидкости. Тогда мы получим граничные условия как уравнение с второй производной по времени с одной стороны и давление (можно упростить до глубины?) с другой.
надо воспользоваться граничным условием, гласящим, что у стенки стакана скорость будет равна нулюСтрого говоря, это не правда. В реальном стакане жидкость может скользить по стенкам. Да, это приближение очень точно, потому что вода — не особо вязкая жидкость и чуть отойдя от границы мы уже получим малое влияние этого допущения, но всё же это делает горизонтальные поля шире, чем должны быть.
Для исправления неточности нужно обратиться к физике, и поискать какая модель лучше описывает трение жидкости о твёрдое тело. Скорее всего сухое трение, не зависящее от скорости, подходит лучше, чем вязкое трение внутри жидкости. Тогда мы получим граничные условия как уравнение с второй производной по времени с одной стороны и давление (можно упростить до глубины?) с другой.
Надо попробовать смоделировать в Ansys или Comsol Multiphysics с учётом ложки.
А в защиту теории параболической формы спрошу: Как же тогда работают жидкозеркальные телескопы?
UFO just landed and posted this here
Их крутят вместе с чашкой. Так уравнения проще получаются :-D
В жидких зеркалах стенки вращаются вместе с жидкостью. Соответственно нет трения, и поверхность близка к парабале.
А только ли у параболы есть фокус?
Лучевая оптика может быть описана через принцип наименьшего времени: среди всех близких к пути распространения луча оптических путей, соединяющих две заданные точки, время затраченное на прохождение именно того пути, который выбрал луч, — экстремально (отсюда в частности следует, что если начальная и конечная точки выбраны достаточно близко, то затраченное время будет наименьшим из возможных).
Звезда — это очень, очень удаленная точка. Чтобы лучи от звезды собрались в точку, нужно чтобы время их движения от звезды к этой точке были одинаковы. Существует только одна гладкая поверхность, сумма расстояний от которой до некоторой конечной точки и некоторой бесконечной одинакова для всех элементов поверхности — эта поверхность есть парабола.
Звезда — это очень, очень удаленная точка. Чтобы лучи от звезды собрались в точку, нужно чтобы время их движения от звезды к этой точке были одинаковы. Существует только одна гладкая поверхность, сумма расстояний от которой до некоторой конечной точки и некоторой бесконечной одинакова для всех элементов поверхности — эта поверхность есть парабола.
А почему вы решили, что контактный угол на линии соприкосновения жидкости и стакана равен 90 градусам? И что-то я не вижу учета поверхностного натяжения? ;)
Плюсую. Тоже зашел посмотреть, в каком месте появится поверхностное натяжение.
А еще мне что-то помнится, что устойчивая поверхность должна иметь постоянную кривизну (т.е. одинаковую в каждой точке). Мне не хватает способностей проверить, выполняется ли это для выведенной формулы, но таки интересно, выполняется ли…
А еще мне что-то помнится, что устойчивая поверхность должна иметь постоянную кривизну (т.е. одинаковую в каждой точке). Мне не хватает способностей проверить, выполняется ли это для выведенной формулы, но таки интересно, выполняется ли…
Еще интересно как поведет себя жидкость, если стакан покрыт гидрофобным/супергидрофобным покрытием, там по идее будет вообще воздушная прослойка и трения жидкости о стенки не будет, а значит и не будет градиента к центру, и интересно какой будет формы поврехность, вогнутая или в виде воронки?
Параболоид будет. Без трения о стенки это то же самое, что вращение вместе со стенками, а это даже на практике параболу даёт.
Супергидрофобность же не значит, что будет прослойка воздуха аж до дна стакана (так чтобы трения не было). Просто по идее вблизи стенки должен быть выпуклый мениск — что, конечно, на форму близ стенок влиять будет.
Каково будет отличие от параболы в области малых r?
ДА это модель. Вообще если провести эксперимент то всегда видно, что в воронке появляется что то вроде спиралей. Как это описать?
Не понял пары моментов:
1) Если скорости малы, то это не значит, что производные от них малы.
2) Давление = ρ g y — разве это актуально для динамики? Понятно, что закон Бернулли актуален для стационарного течения (в Вашем предположении — вдоль каждого радиального кольца, которые не смешиваются), но не ясно, почему в данном случае отбрасывается динамическая составляющая давления.
1) Если скорости малы, то это не значит, что производные от них малы.
2) Давление = ρ g y — разве это актуально для динамики? Понятно, что закон Бернулли актуален для стационарного течения (в Вашем предположении — вдоль каждого радиального кольца, которые не смешиваются), но не ясно, почему в данном случае отбрасывается динамическая составляющая давления.
1. Если производная не мала, то и функция очень быстро станет большой.
2. ρ g y — определяет внешнюю силу. Все остальное учитывается в уравнениях Навье-Стокса.
2. ρ g y — определяет внешнюю силу. Все остальное учитывается в уравнениях Навье-Стокса.
Функция может осциллировать с большой частотой. Куда приложена ваша сила (давление)?
Вдогонку,
- В уравнениях у вас вертикальная ось Z, а потом вы везде используете Y. Не надо путать читателей.
- Про P=rhogH — это 100% верно лишь для статики. Например, если жидкость течет вниз по прямоугольному наклонному желобу со свободной поверхностью, то давление постоянно именно на ней (наклонной поверхности). В вашем случае нужно доказывать, что это так.
- Куда делась гравитация (rho*g) из 3-го уравнения Навье-Стокса? Без этого члена давление вообще не зависит от Z (dp/dz=0, если Vz=0).
- А как-так получилось, что у вас единственная отличная от нуля тангенциальная компонента скорости зависит только от r, но не от z? Даже в бесконечном по глубине стакане возможно что-нибудь типа экспоненциального затухания по глубине...
Отвечаю:
Функция может, конечно, осциллировать с большой частотой, но мы предполагаем, что не осциллирует (что видно из практики).
Ось Z — это ось Z. А y( r ) — это функция, описывающая форму поверхности. Это разные вещи.
P=rhogH — это давление, связанное с силой тяжести. Только и всего.
В третьем уравнении сила тяжести элементарного объема воды уравновешивается разностью давления сверху и снизу.
От z не зависит, поскольку вся жидкость изначально вращается со скоростью, зависящей только от r. Это упрощение, возможное только если стакан бесконечно глубокий.
Функция может, конечно, осциллировать с большой частотой, но мы предполагаем, что не осциллирует (что видно из практики).
Ось Z — это ось Z. А y( r ) — это функция, описывающая форму поверхности. Это разные вещи.
P=rhogH — это давление, связанное с силой тяжести. Только и всего.
В третьем уравнении сила тяжести элементарного объема воды уравновешивается разностью давления сверху и снизу.
От z не зависит, поскольку вся жидкость изначально вращается со скоростью, зависящей только от r. Это упрощение, возможное только если стакан бесконечно глубокий.
Sign up to leave a comment.
Задача о форме поверхности вращающейся жидкости