Comments 41
<пуская_скупую_слезу> Вот опять.... Еще одна ностальгическая статья... Как все это классно "Алгебра и теория чисел".... Физмат 90-е. Самый любимый раздел это конечно Матан (Имя Демидович вам что-нибудь говорит? Аллахакбар..) Потом Алгебра. Затем Фунан. Топология это что-то из высших сфер.... На грани понимания.... </пуская_скупую_слезу>
В свою очередь, натуральные числа — это вовсе не кучки палочек. В современной математике они определяются через набор аксиом Пеано, ничего общего с палочками не имеющих, и тоже образуют некоторую алебраическую структуру.А если к палочкам добавить камешки?) И считать палочки единицами, а камешки нолями, и все действия выполнять в двоичной системе? Пусть у нас их любое количество. Можно на них описать любую математическую структуру и операции над ними? Это конечно очень муторно и чудовищно трудозатратно манипулировать таким количеством палочек и камешек. Поэтому со временем придумали (абстрагировали интуитивные представления) числа и операции над ними — счет, затем арифметику, и тд, а также со временем различные вычислительные устройства. Но ведь современные компьютеры на аппаратном уровне манипулируют палочками и камешками — 1 и 0 в двоичной системе, и выполняют любые расчеты, для любых мат. структур, которые определены в программе. Включая в таких высокоуровневых, как программах доказательства теорем, которые выполняют операции с символами. Конечно, если не брать в расчет аппаратные эмуляторы таких структур, напр, вещественных чисел и операций с матрицами, которые ускоряют вычисления. Может все же сводятся все эти абстрактные структуры современной математики к палочкам, камешкам и манипуляциям с ними?) И все труды только, чтобы повысить эффективность работы с ними.
Да это же просто кучка камней и палка
Но вообще ОТА сама по себе и есть тот самый базовый камушек от которого всё пляшет. А там уже и криптография и теорема Ферма и гармонические ряды для этих ваших наушников.
Ну нет. ОТА - это всё-таки теорема, а не аксиома. Значит это уже какое-то следствие. А базис от которого всё пляшет - это "феномен" простых чисел...
Аксиомы можно выбирать - ZFC, вселенные Гротендика и прочие. Теоремы уже строятся в рамках этих аксиом, и одни теоремы становятся базисом для более сложных теорем. ОТА в этом плане максимально элементарная и даёт следствия для огромного количества больших теорем - там и выражение множеств, и всякие модулярные арифметики, множества с вещественными/иррациональными основаниями и самое главное - даёт основание для появления таких свойств как простота чисел.
Простые числа в свою очередь, во-первых, в разных множествах могут быть очень разными - взгляните хоть на те же комплексные. Во-вторых, привычные нам натуральные простые числа конечно имеют немало приятных свойств, но самостоятельно эти свойства не проявляются без применения теорем или операций типа той же дзета функции или функции Эйлера. Это объект изучения, в то время как теоремы пытаются сделать некоторую модель для этого объекта в некоторых рамках вокруг объекта - аксиомах.
Справедливости ради, из одних палочек аналог системы чисел получается, а из палочек и камушков - уже нет. Четыре палочки будут соответствовать числу "4", что бы мы с ними не делали, а вот одна палочка и два камушка могут, в зависимости от взаимного расположения, обозначать "4", "2" или "1"
Да нет, это-то понятно. Я о том, что одних палочек и камушков для обозначения чисел недостаточно, нужно ещё знать их взаимное расположение (и условиться насчёт endianness и прочих конвенций)
Число, записанное одними палочками, можно положить в мешок, встряхнуть, и из него высыплется то же самое число. С двоичной системой такое не прокатывает.
Я о том, что одних палочек и камушков для обозначения чисел недостаточно, нужно ещё знать их взаимное расположение (и условиться насчёт endianness и прочих конвенций)Во… во… как раз об этом) Это как раз дополнительная информация, которая необходима для структурирования наборов палочек и камешков, и манипуляций с ними. Не более того. Она и развилась в математическое описание и методы. Представьте разложенные наборы камешков и палочек обведенные с подписями названия чисел, их вложений, отношений, и т.п., и операций с ними. Раскладывать такие наборы и манипулировать ими при росте их числа и длины становилось все более неудобно и накладно, а в подписях, которые были намного короче, люди увидели определенный порядок, обобщили его и получили абстрактные символьные представления этих наборов и операций с ними, включая в виде УМТ. Дальше шло структурное усложнение. Но все эти усложнения можно воспроизвести в этих наборах, только где взять столько ресурсов?
Число, записанное одними палочками, можно положить в мешок, встряхнуть, и из него высыплется то же самое число. С двоичной системой такое не прокатывает.Нет проблем, связал в нужном порядке и положил в мешочек) Однако можно и для палочек одних проделать то же самое. Двоичная система только для наглядности, что любые вычисления можно провести на компе — свести к манипуляциям с 0 и 1. Могут быть неразрешимые вычисления (по теореме останова Тьюринга), но это опять-таки не противоречит манипуляциям с наборами палочек и камешек, и они не понятно закончатся когда-нибудь или нет.
Напомнило:
Так как для людей, не знакомых с тензорным исчислением, особенно в связи с теорией относительности слово «тензор» обычно окутано своеобразной мистической дымкой, мы в качестве первого примера объекта рассмотрим обыкновенный компот, состоящий из яблок, изюма и чернослива. Таким образом, элементами компота являются яблоки, изюм и чернослив. Для обозначения всего, что связано с компотом, введем букву а и назовем ее главной буквой компота. Элементы компота всегда будем обозначать при помощи его главной буквы с индексом, например, а1 — яблоки, а2 — изюм, а3 — чернослив. Так как компот состоит из этих элементов, то чтобы обозначить «сам» компот как целое, нам нужно выписать все его элементы, однако это громоздко. Чтобы помочь делу вспомним, что в алгебре цифры заменяются буквами, поэтому мы можем обозначить «сам» компот через аi, условившись, что индекс i пробегает значения 1, 2, 3.
...
Дальше мы можем изучать зависимости между различными обозначениями компота и различные преобразования компотов, для чего введем некоторые правила и т.д., иначе говоря, построим из глубины собственного духа некоторое компотное исчисление.
-- Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М.: Изд-во МФТИ, 2000.
;)
О! Ваш пример с палочками и камушками мне очень нравится! Он даёт хороший повод поразмышлять о том, какие числовые системы можно с их помощью соорудить (кроме банального двоичного представления обыкновенных натуральных чисел, или колец вычетов по степени двойки).
Итак, вот, что мне пришло в голову за обедом:
Декартово произведение моноидов
, представляющее целочисленную координантную систему.С помощью пар натуральных чисел можно построить систему, изоморфную кольцу целых чисел
(см. И. В. Арнольд, "Теория чисел").Введя подходящие правила для сложения и умножения, легко построить систему формальных дробей и получить уже полноценное числовое поле рациональных чисел
.Какое-либо алгебраическое расширение натуральных чисел
![\mathbb{N}[x]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/450/30c/75b/45030c75b332d921a91f1f6b48f3afec.svg)
в котором камушками обозначается корень неразложимого в натуральных числах полинома. Если полином 
то получим подсистему гауссовых чисел ![\mathbb{N}[i]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/74d/730/2e8/74d7302e848142e719d445d166d8ee28.svg)
если 
то чисел Эйзенштейна ![\mathbb{N}[\omega]](https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/933/547/930/933547930bcd11804e32387d425c5819.svg)
. В общем, так можно строить некоторые расширения Галуа.Из экзотики. Если камней с палками неограниченное количество, то можно построить поле 2-адических чисел. Из пар собираются сюрреальные числа Конвея, но с помощью неделимых палок и камней получится собрать только некоторую подсистему сюрреальных чисел.
Если серьезно, то некоторые физики, включая весьма известных, утверждают, что «все из бита». Некоторые понимают это буквально. Вероятно это дело вкуса. Доказать или опровергнуть это на современном уровне познания пока не представляется возможным.
В других гиперкомплексных числах можно найти и делители нуля, и автоморфные числа, и даже числа Фибоначчи (с правилом i2=1+i). Но почему-то эти темы настоящим математикам не интересны и сейчас практически не развиваются.
Да, действительно, комплексные числа с единичной нормой образуют мультипликативную группу, изоморфную циклической группе. Кажется очевидным, что возведение в степень могло бы играть роль умножения, но у меня закрадываются сомнения в ассоциативности такой операции, а также в её правосторонней дистрибутивности относительно сложения (умножения в 
). Без этого кольца не соорудить, даже некоммутативного, тут нужен какой-то трюк.
Есть же теорема Фробениуса, которая говорит, что есть только три конечномерных алгебры с делением над полем вещественных чисел, это: поле вещественных чисел, поле комплексных чисел и поле кватернионов. Все три активно используются. Деление это очень важно, ассоциативность тоже. Коммутативность уже теряется у кватернионов, но это никак не мешает их применению.
Формально есть ещё одна «алгебра» с делением — это алгебра Кэли (или алгебра октав[ионов]), но там теряется ассоциативность, так что пока не придумали, где бы это можно было применить. Хотя можно сказать есть задел на будущее.
Остальное количество единиц вообще ни то ни сё. Получаются какие-то незамкнутые системы, без деления, с ними ничего полезного не сделаешь.
Удивительно, как вы смогли написать такую статью и прям в ней написать, что существует корень из отрицательного числа
А почему вас это так удивляет? Особенно в контексте, в котором этот корень в статье упоминается.
Корня из отрицательных чисел не существует по определению. Неважно, какой контекст. Это как написать "человек с возрастом минус 20 лет".
Вся статья (и теория чисел тоже) -- о том, что числа и числовые системы бывают разными. В натуральных числах нет отрицательных чисел, поэтому возраст не может быть "минус 20 лет". В целых числах они уже есть, так что можно сказать: "У них разница в возрасте минус 20 лет". Зато в целых числах два не делится на троих, так что "полтора землекопа" вызвывают законное недоумение. А в рациональных это не проблема, правда, в них проблема выразить диагональ квадрата со стороной 1 или число 2 в степени 1/2, таких чисел не существует. Но диагональ-то существует! Ладно, переходим к пределам, и вот у нас уже вещественные числа. Но увы, умножая два положительных вещественных числа, мы никак не получим отрицательного, так что вещественного корня из отрицательного числа не бывает. Но если он нужен (а он нужен), то мы его добавляем и получаем пополнение вещественных чисел мнимой единицей и переходим к комплексным. Кстати такое пополнение можно было сделать и в целых числах. А можно рациональные пополнить иррациональным корнем из 2. Наконец, кольца вычетов тоже можно пополнять тем, чего в них нет.
Все эти числовые системы формируют корректные поля, кольца и моноиды. А вот, наример, если попытаться пополнить любую из них "числом" 1/0, то всё расползётся и получится корявая, не имеющая практического применения искусственная сисетма "колесо", в которой толком и уравнения не решить. Так что пополнение должно быть грамотным. Вот об этом теория чисел, теория колец и теория Галуа и толкуют.
z=(i-x)/(i+x). Широко используется в ЦОС для проектирования фильтров.С делением на ноль тоже проблем не вижу, совсем недавно этот вопрос рассматривал и всё сошлось. Разумеется, при алгебраическом подходе нужно не пополнять числа искусственно придуманными, а создавать конструкции из того, что есть. В данном случае это будет дробь, у которой числитель и знаменатель не обязательно целые, из чего автоматически следует, что 1/1, 2/2, 2.7/2.7 это всё разные не равные друг другу числа. Заодно появляются и множество нулей 0/1, 0/2… и множество бесконечностей 1/0, 2/0..., а 0/0 получается одновременно и ноль, и бесконечность, но при этом всё ещё такое же число как и все прочие. Таким образом можно вычислять значения рациональных многочленов с устранимыми особыми точками не имея представления об их количестве и местонахождении, но зная природу их возникновения.
1) Я не говорил про разницу в возрасте, я говорил именно про определение самого возраста. Возраст не может быть отрицательным. "Разница", как функция двух аргументов, может быть разной. Множество мат. конструкций есть для этого, например - норма
2) > Но если он нужен (а он нужен)
Зачем нужен корень из отрицательных чисел? Если вы про комплексные числа, то есть массовое заблуждение, что i = sqrt(-1). Это не так, i как числа вообще не существует, это просто буква такая, которая ничего не значит. Но вот когда мы захотим возвести эту букву в квадрат (звучит забавно, но в математике такие причуде много где встречаются), то получим -1. Заметьте, тут нигде корня вообще нет. Кроме того, использование i как sqrt(-1) ведёт к забавным парадоксам, типа такого
Вообще, ничто не мешает вам замутить свои "числа", например начать "считать" с -1000. Можно вообще оперировать абстрактными множествами, создавать там разные группы, поля, кольца, и т.д. Тогда будет вполне легально написать sqrt(-10). Но вам тогда придётся самому выводить всю аксиоматику, чтобы все остальные свойства работали. Но ваша статья была не про это.
i как числа вообще не существует, это просто буква такая, которая ничего не значит
Двойки и единицы тоже «не существует», это просто символы такие.
Корень из отрицательных чисел например полезен для поиска решений уравнений, в том числе вполне физических. Впрочем, о чём это я… никаких уравнений на самом деле «не существует».
1 и 2 элементы различных числовых множеств с введёнными операциями и аксиоматикой. Например, с операцией умножения.
i не принадлежит этому множеству, но употребляется наравне с этими элементами. Например, можно применять оператор умножения, что технически противоречит определению умножения и ломает кучу определений/теорем.
Так же, как и символ бесконечности.
Поясните пожалуйста, к каким противоречиям приводит "массовое заблуждение" о том, что 
?
А ведь статья как раз про это: про непротиворечивую аксиоматику кольца на конечном множестве, в котором противоположное 1 число равно квадрату другого. Доказательство их непротиворечивостм в случае Z/5Z можно провести исчерпывающим перебором, либо свести к общим доказательствам для колец вычетов. Никаких иных смыслов в крамольный корень не вкладывалось, и даже есть пояснение, что это рядовой элемент множества, а не что-то из ряда вон выходящее. Более того, этот корень вычисляется по всем алгебраическим правилам, имея две ветви: √4=±2 , поскольку 4=−1 mod 5, 3=−2 mod 5.
Ссылку на видео я вам уже привёл, рекомендую посмотреть
Вот пример попроще (взято из википедии):
Я говорил про корень из отрицательных чисел, а вы сейчас пишете про корень из обратного к операции сложения в кольце вычетов. С последним проблем нет. А вот первое (арифметически корень) не существует по определению.
Относительно видео, в том, что аналитическое продолжение синуса может по норме превышать единицу, нет противоречия с его свойствами и связью с геометрией на вещественной оси (см. 1+2+3+...=–1/12)
Парадокс из википедии работает только в вещественных числах, где корня из –1 не существует. А из ложной посылки, как известно, можно вывести что угодно. При пополнении R мнимой единицей, корень становится двулистной функцией и меняя аргумент дважды, можно, действительно попасть из 1 в –1. Но это не будет равенством.
Наконец, вы всë время ссылаетесь на какие-то определения корня и отрицательных чисел (которые, судя по всему, у вас не соответсвуют противоположным в группе по сложению). Приведите их уже, пожалуйста, чтобы дискуссия стала содержательной. Я приведу свои.
Противоположным числу a в кольце является решение уравнения x+a=0,которое обозначается –a. Если в кольце определено отношение порядка, то положительными называются числа превышающие ноль, а отрицательными, противоположные им числа, не превышающие ноль.
Корень квадратный из числа a в кольце — это решение уравнения x² – a = 0. В силу того, что отображение x →x² не инъективно, решение может быть не единственным и, если существует, то включает в себя пару противоположных чисел.
При решении кубического уравнения нужно вычислять корень.
Иногда получается корень из отрицательного числа.
Вы предлагаете остановиться на этом моменте и сказать, что решения нет?
А вообще, ваш вопрос важен и серьëзен. Аргумент "по определению" в математике требует продолжения в виде определения. Корень из отрицательного числа невозможен по опрелелению чего: корня, числа, отрицательности? А какими могут быть непротиворечивые определения, чтобы он был возможен?
z=x+0·i, выполняем там все необходимые преобразования, а затем возвращаемся обратно.А вот уже потом стали появляться идеи, что на самом деле математика первична сама по себе, а её прикладное применение вторично и даже вообще не обязательно. Появилась школа Бурбаки, которая пыталась всё свести ко множествам. Появилась школа абстрактной алгебры, в которой пытались уйти от функционального анализа. Появилась школа линейной алгебры, в которой всё пытаются свести к матричным операциям.
Но и физика не стоит на месте. В начале 20-го века стала развиваться электротехника, и внезапно снова оказалось, что текущего состояния математики недостаточно для описания и происходящего. И тут крайне показательна история Оливера Хевисайда, который, для решения чисто прикладных задач, напридумывал много нового, но научное сообщество его идеи не принимало потому что они «недостаточно хорошо математически обоснованы». Функция Хэвисайда, в частности, наряду с функцией Дирака, до сих пор не считаются математиками полноценными и для них придумали специальную категорию «обобщённые функции». Чуть позже появились компьютеры с дискретной логикой, и снова пришлось изобретать новый мат.аппарат для преобразования непрерывного в дискретное и наоборот, и снова это сделали физики опираясь на классический анализ, придуманный физиками, а не на теорию множеств и абстрактную алгебру, придуманную математиками.
Но это взгляд гуманитария, который и не физик, и не математик, а лишь немного программист. Настоящий математик, скорее всего, видит всё немного по другому.
«человек с возрастом минус 20 лет»До рождения человека 20 лет) Под мнимой единицей можно считать дырку об бублика. Она есть само по себе? Нет, только воображаемая. Сколько дырок будет при прибавлении еще одного бублика? Уже две. О… дырки можно складывать, вычитать… А если усилием воли, конструктивно, определить возведение в квадрат бублика, как его превращение в плюшку — действительное число, то можно целую алгебру дырок построить… так и с мнимыми числами) А как в жизни? Отрицательные числа возникли, как долг, недостача в расчетах. А бублики в виде колес пригодились для транспортных средств. При этом комплексные числа оказались очень удобными для описания вращательных и колебательных движений.
Ребёнку в 9 лет я рассказал про кольца остатков и в частности про кольцо ℤ/6ℤ. Она была впечатлена и лёгкостью оперировала элементами. Интересно, что и помнит долго.
Недавно вспоминали, когда прошло более года, она с лёгкостью рассказало про то, что 2×3=0 и смогла пояснить как это всё устроено.
Такие темы могут по-настоящему увлечь детей, прежде всего потому, что это похоже на игру. Всё довольно строго, но при этом очень необычно.
Математическая продлёнка. Теория чисел на пальцах