Comments 163
... Мне кажется, главная причина сложности математики в абстрактности ...
Нет. Абстрактна система понятий любой науки и познания в целом. :)
Сложность для понимания математики в том, что система понятий в математике максимально возможно формализована.
... Методы математики используются другими науками. ...
Да, математика, как максимально формализованная философия, как и философия в целом, является источником общенаучных максимально обобщенных понятий и методов.
И насколько же "абстрактна", например, физика?
И нет, в математике это не столько формализация (хотя и она, разумеется, присутсвует во всей красе), а именно абстракции в чистом виде (не во всех разделах). Например, вы довольно быстро столкнетесь с понятием "бесконечности". Как это не формализуй - без понимания сути этой, самой что ни на есть, абстракции, дальше вы не продвинетесь...
И насколько же "абстрактна", например, физика?
Материальная точка, например, совершенно абстрактный объект, на котором держится вся механика. А ещё в той же механике есть понятие «континуальная среда», тоже весьма далёкая от реальности, зато близкая к абстрактным математическим континуальным множествам.
Физика, безусловно, должна как-то соотноситься с реальностью, но по уровню абстрактности она от математики не слишком далеко находится.
Ну все же в физике к материальной точке приходят через математическую абстракцию, которую мы принимаем на веру (правда если не математики, которые абстрагируют на 80 уровне). Возьмем, например, меня: мне на курсе общей физике сказали так: sin(fi) примерно то же что и fi при малом fi. Ну это сняло многие проблемы непонимания.... Например к дифф исчислению, я подходил примерно так же, ведь если достаточно точности, то зачем городить функции и непрерывность? Физики хакнули, что ли, математику с моей точки зрения. Просто я математику через физику постигал. А если мне не хватает Кью в голове на n-мерное пространство, то вспоминаю про sin(fi) при малых fi и все встает на свои места, матрицы верчу безотносительно к окружающей действительности. Как-то так.
Возьмем, например, меня: мне на курсе общей физике сказали так: sin(fi) примерно то же что и fi при малом fi. Ну это сняло многие проблемы непонимания
А по-хорошему тут надо не просто говорить, а рисовать. Рисуем единичную окружность, рисуем противолежащий катет, рисуем дугу - и показываем, что при малом фи катет лежит на дуге, а с ростом фи их разница становится наглядно видна.
Дак и нарисовали первый раз. Просто не пойму почему в школе не применяют такие простые подходы?
Боюсь, дело в том, что школьные учителя этого сами не понимают. Потому что те, кто понимают - не будут работать за зарплату учителя.
Возможны, разумеется, исключения, но в массе, как мне кажется, картина именно такая.
Школьные учителя обычно весьма хорошо знают что написано в школьном учебнике, они этот материал регулярно пересказывают. Что мешает найти одного хорошего специалиста и создать действительно качественный учебник, по которому бы потом преподавали все остальные?
при малом фи катет лежит на дуге
Не хотел бы я чтобы такое было написано в учебниках.
Что мешает найти одного хорошего специалиста и создать действительно качественный учебник, по которому бы потом преподавали все остальные?
Мешает то, что издательствам хочется кушать, а потому учебник надо выпускать новый каждый год.
Вообще то, что синфи приблизительно равен фи при малом фи показывается в курсе матана. Почитайте про дифференциалы
И насколько же "абстрактна", например, физика?
После длительного расследования я, наконец, понял, что студенты все запоминали, но ничего не понимали. Когда они слышали "свет, отраженный от преломляющей среды", они не понимали, что под средой имеется в виду, например, вода. Они не понимали, что "направление распространения света" это направление, в котором видишь что-то, когда смотришь на него, и т.д. Все только запоминалось, и ничего не переводилось в осмысленные понятия. Так что, если я спрашивал: "Что такое угол Брюстера?", я обращался к компьютеру с правильными ключевыми словами. Но если я говорил: "Посмотрите на воду", - ничего не срабатывало. У них ничего не было закодировано под этими словами.
https://www.livelib.ru/quote/1122009-vy-konechno-shutite-mister-fejnman-richard-f-fejnman
Да, обожаю про "бразильскую физику" у Фейнмана. Схвачена самая суть. Большинство людей стремятся заучивать что-то, полагая, что наличие знаний само по себе к чему-то вывезет. Это относится к любой науке, если это наука. Если вы выделили объект изучения - вы вынуждены строить абстрактные модели. Иначе не получится - мир огромен и в нём всё взаимосвязано. Кажется очевидным, что не получится всё, сразу и целиком. Поэтому получаются физика, химия, биология и т.д. А внутри каждой из них - ещё матрёшки абстракций. Математика в этом смысле - просто язык, на котором проще всего эти абстракции формулировать. Крики, махания руками, извержение огромного количества слов - это сложнее. Математика - проще. Поэтому, конечно, не в абстракциях дело, а в понимании как там в этих моделях всё работает и зачем это, собственно говоря, нужно.
А внутри каждой из них — ещё матрёшки абстракций. Математика в этом смысле — просто язык, на котором проще всего эти абстракции формулировать.
Проблема в том, что крайне мало внимания уделяется донесению ПРИМЕНИМОСТИ этих абстракций! Если физики еще понимают зачем они учат математику и как могут использовать в физике, то тем же биологам математика как правило дается сама по себе, как набор некоторых "магических фокусов", без объяснения применимости в их будущей деятельности.
Это же бред, когда человека учат решать простое диф.уравнение, но не учат как оно может получится в решении реальной задаче из его профессии! То есть куча формальных теорем и их доказательств — есть, формальные задачи есть, а вот где и как все это применяется в реальных исследованиях — это для большинства загадка. Соответственно и отношение к этому у студентов как к какой-то левой ерунде и усвоение соответствующее.
В западных учебниках математики для не математиков кстати подход противоположный — упор не на строгость формулировок и доказательств, а на практическое применение.
В западных учебниках математики для не математиков кстати подход противоположный — упор не на строгость формулировок и доказательств, а на практическое применение.
Что тоже рождает определённые проблемы вида "шаг влево, шаг вправо - расстрел".
Проблема в том, что математики пытаются преподнести именно математику, а практики думают от своих реальных задач.
Рабочий вариант - это когда для "введения в тему" показывается "какое у этого практическое применение", потом можно переходить к математике, но для подкрепления давать возможность "неожиданно" применить её на практике.
А вот когда физику дают на первом курсе, а используемую там математику дают на 3-м, возникает когнитивный диссонанс на 1-м, и смутные воспоминания "где-то это уже было" на 3-м. А согласовать друг с другом курсы физики и математики - ну никак не хотят, т.к. расписания делают не учитывая содержание курсов...
Что тоже рождает определённые проблемы вида "шаг влево, шаг вправо — расстрел".
Лучше научится уверенно ходить хотя бы прямо, чем изучать кучу гимнастически-акробатических трюков, но при этом не усвоить вообще ничего и едва-едва уметь ползать...
Ну, кое-кто Вам скажет, что механика ужЕ давно стала частью математики. Название "механико-математический факультет", собственно, об этом. А если брать физику, то это точная наука, поэтому она абстрактна самим своим существованием. А уж внутри неё абстракция на абстракции сидит, и абстракцией погоняет. Миф о некой "наглядности" физики - это от путаницы физики и научпопа. Возьмите любой раздел классической физики, основные понятия, которые там используются, и попробуйте буквально их наглядно представить. Что-то типа адиабатического расширения, изотермического процесса или гармонической электромагнитной волны в пустоте. Что угодно. Про законы сохранения или молекулярно-кинетическую теорию вообще молчу. Очень наглядные вещи. Это не значит, что понятие "наглядности" в физике не используется. Но оно имеет совсем не бытовой смысл. Например, если вы распространяете волны в какой-нибудь хитрой анизотропной среде, очень полезно бывает что-нибудь геометрически изобразить, например, зависимость показателя преломления от азимутального угла. Очень наглядная штука, можно о многом догадаться, не проводя расчеты. Но мы же не о такой наглядности ведём речь.
Возьмите любой раздел классической физики, основные понятия, которые там используются, и попробуйте буквально их наглядно представить. Что-то типа адиабатического расширения, изотермического процесса или гармонической электромагнитной волны в пустоте. Что угодно.Не так уж и сложно на самом деле: смотришь на размерности, вспоминаешь определения — вот и представил.
Это, кстати очень хорошо помогает понять, когда ты уже ушёл из физики в чистую математику — это когда уже нет размерностей, всё «безразмерно».
Та же материальная точка — в физике это совсем не тоже самое, что в математике. Это не нульмерное множество, а вполне себе 3х мерный объект. Её размер вовсе не равен точно нулю. Он просто достаточно мал, по сравнению с другими телами/размерами в рассматриваемом процессе.
И насколько же "абстрактна", например, физика?
Я бы поставил вопрос по другому.
Когда в школе, или даже в универе учавствуешь в олимпиадах по физике, то физика конечно абстрактна, но ее можно визуализировать. И интуитивно "почувствовать" или "представить" себе результат.
Но когда физикой начнешь заниматься "по-взрослому", то с грустью обнаружишь, что чем сильнее погружаешься, тем серьезнее ты занимаешься математикой. Вполне себе абстрактной.
Знакомые биохимики говорили, что у них та же проблема.
Вообще у меня подозрение, что чем глубже погружаешься в любую точную науку, тем больше превращаешься в математика.
Хорошо что медицина - вторая по точности наука после богословия.
Да понятно что в физике навалом абстракций. Только вся квантовая механика - это одна сплошная абстракция. Но задача физики по своей сути, как науки, дать объяснение явлениям природы. Т.е. абстракции в ней - это лишь "промежуточный этап", все выводы физики должны быть применимы к окружающему миру. А абстракции здесь лишь помогают объяснить, систематизировать, унифицировать и т.п. законы, объясняющие явления природы.
У математики такой задачи нет. Как по мне, это некая "наука в себе". Более того, я в последнее время всё сильнее прихожу ко мнению, что математика вообще является фундаментом мироздания)) Вон, есть довольно интересное мнение, что единая теория поля - приведение трёх, актуальных на данный момент, фундаментальных взаимодействия к какому-то единому, основополагающему принципу, может быть основана именно на геометрическом принципе.
UPD: А ещё на досуге люблю задуматься над всякими математическими "неочевидностями". Например вот в физике навалом неких фундаментальных выражений, где присутствует квадрат числа. Ну т.е. некая размерность умножается на себя же. Почему в физических уравнениях так много "квадратов"? Это ведь не самое простое и "очевидное" математическое действие. В этом есть какая-то система... Для "рандомного характера" мироздания, здесь слишком много "логики")) Вот именно в ходе подобных размышлений, я с годами, перенёс себя из разряда атеистов в разряд агностиков))
Сюда же, например, добавляется пресловутая дискуссия Бора и Эйнштейна (да и вообще любого выдающегося физика с любым выдающимся физиком) о детерминизме/индетерминизме квантовых явлений природы... "Закон неубывания энтропии"... "И тут Остапа понесло" (с)
Более того, я в последнее время всё сильнее прихожу ко мнению, что математика вообще является фундаментом мироздания))
А я вот всё чаще задумываюсь, а не является ли математика, эдакой абстракцией самой сути мироздания? Вот например, взять биткойн, сугубо математическая штука. Казалось бы, чего там, взять да и рассчитать все, тьфу делов том. Но вот фиг - необходимы приличные ресурсы. Так это биткойн.
Чтобы построить дом - нужна математика. Чтобы сделать автомобиль, нужна математика. Чтобы сделать АЭС, нужна расчеты. Чтобы найти бозон Хиггса понадобилось уйма времени и ресурсов. А какие ресурсы нужны для того, чтобы рассчитать, например, где будут все звезды нашей галактики через 100/1000/10000 лет? А во вселенной все это происходит так, словно и не требуется никаких расчетов. То есть, если бы там была нужна математика, откуда бы брались на все это все необходимые ресурсы для расчета? Такое ощущение, словно математика, это не то, что лежит в основе, а лишь язык, которым человек может попытаться описать свои ощущения, но он будет далеко не точным. А будет лишь эдакой абстракцией
Такшта... может и нет этой вашей математики в основе природы ))
О, ваш комментарий напомнил мне ещё одно рассуждение на эту тему - математика и музыка. Ну все кто с знаком с азами музыкальной теории (диатонического лада) - в курсе что это всё построено на натуральных числах. Т.е. частоты "музыкальных колебаний" соотносятся как отношение натуральных чисел. По идее, это математика (арифметика) в чистом виде - мы её даже не анализируем, а просто слышим)) Мозг как будто напрямую воспринимает эти интервалы. И даже умеет оценивать их "красоту"))
Вам тут уже накидали достаточно ответов, но мой преподаватель когда-то сказала (может быть процитировала) ёмкое: "Почти всегда толковые физики - это математики, но редко когда верно обратное" - есть даже пример в истории, когда какой-то выдающийся учёный-физик, которому пророчили карьеру математика (на него он собственно и учился), пошёл против системы и стал физиком)
Плавали-знаем))
"Математика - царица наук! ..И служанка физики"
Я не о той математике. Не которая используются в качестве вычислительного и описательного аппарата в физике. Есть "математика в себе". Если не в курсе, например, "23 проблем Гильберта" - погуглите. Это довольно далеко от того, чем занимается физика))
Сложность для понимания математики в том, что система понятий в математике максимально возможно формализована.
Так ведь это же самое замечательное!
Очень вовремя данная статья! Такая же ситуация, тот же возраст и большие пробелы в математике, всё гонял мысли, как наверстать, не думал, что это вообще возможно, после 30...
Мне кажется, главная причина сложности математики в абстрактности: некоторые понятия сложно представить в реальном мире (как, например, мы это часто делаем в физике). Непосвящённому человеку трудно вникнуть, почему цифры и числа играют по каким-то своим правилам, имеют свои законы, как учёные обнаруживают закономерности и т. д. Получаются чистые игры разума. Понять эти абстракции можно двумя путями: особым складом ума и особым трудолюбием (разобраться).
В действительности, здесь смешивается две несовместимые вещи: процесс и результат. Стройная теория — это результат многолетних усилий в поисках закономерностей. Да, теория формальна. Нередко формулируется довольно формально. Но! Ту же теорию можно изложить и в прикладном ключе. Взять исходную задачу и показать, как решение задачи приводит к построению целого здания. Все эти озарения неформализуемы, хотя век ИИ может многое изменить в наших представлениях об этом вопросе. В математике имеется красота. Если показать эту красоту, то любой заинтересуется. Особый склад ума требуется для совершения открытий в математике. То есть, для работы в ней. Но для практического использования она доступна всем и имеет для этой доступности все средства.
З.Ы. (в сторону) А что это за часы, которые дают 30 минут на написание сообщения? Это у всех так?
Математику очень плохо преподают в школах, что в обычных, что в профильных. Есть одарённые учителя, есть классные методики, но учебному процессу не хватает по-настоящему сильных учебников, а главное, времени. Даже при 2 уроках каждый день времени на детальное, «любовное», увлечённое погружение очень мало. Поэтому в школах не изучают математику, а осваивают программу. Кстати, в вузах ситуация лучше и можно попасть в реально заинтересованную среду.
Проблема школьной математики в том, что математику (как и многое другое) разделяют на школьную и вузовскую. Нет разных математик. Математика учит строгости. В школе можно было бы много чего изучить (не повторяя, потом, это всё заново). Например, различные логики, исчисления.
На мой непросвещённый взгляд, проблема школьной математики (а также физики, химии, и далее по списку) заключается в одном вопросе, который любой ученик может и вправе вам задать: зачем? И ответ должен быть конкретный и понятный данному ученику. Это называется создание мотивации. Если же вы говорите что-то вроде: надо! Или: голову приводит в порядок. Или: вырастешь - поймёшь. Так это не проканает.
Да уж, если бы на первом занятии по математике в ВУЗе кто-нибудь сказал бы фразу "вот смотрите, есть много задач, когда надо преобразовать один набор координат в другой: сжать, растянуть, покрутить. Это удобно рассчитывать с помощью приемов из линейной алгебры, в которой используются матрицы и операции над ними, сейчас мы будем это все постепенно изучать", то насколько бы легче было эту науку (которая в итоге не пригодилась) изучать и понимать. А так это превратилось в какое-то зубрилово в первые несколько лет, а под конец, когда стало приблизительно понятно, что это было, зачем оно надо и где оно используется, стало также понятно, что изучать надо было не совсем это. Хотя это не прошло бесполезно, "ум в порядок приводит" (с) Ломоносов
Ну вот так оно и было, приходишь ты, студень первого курса, учиться, а тебе сразу: вот матрицы! вот как вычислять определитель! не думай, вычисляй! Ну, как Фейнман в Бразилии удивлялся, почему студенты ничего не понимают. Вот и мы не понимали так же.
Посмотрев же статью Википедии "Линейная алгебра", я понял, что так ничего и не понял. Хотя, как-будто бы, между понятиями "линейной зависимости" и "третьей нормальной формы" (где требуется, чтобы функциональной зависимости между ячейками кортежа как раз не было) можно попытаться провести аналогию.
Самый треш с матрицами у физиков. Когда вводят всякие матрицы Паули и Гамма-матрицы и через это определяют спиноры. Алгебры Клиффорда в лучшем случае в одном абзаце упомянуты, а дальше снова матрица на матрице и матрицей погоняет. Реально мешает пониманию сути.
А вузовская математика чем от школьной в этом плане отличается? Я не имею в виду элитные вузы для математических гениев, один из которых вы закончили, конечно.
В вузе объясняют, "почему так". Ну т.е. если мы говорим про пределы (которые я в школе не понимал от слова "совсем"), то он сначала строго определяется, а потом уже (опять же, с доказательством) выводятся все его свойства.
В результате чего 80% (а то и 90%) университетского курса запоминать не надо - всё можно вывести, если понимать принципы доказательств (и помнить, чего вообще доказать хотим).
Вузовская точно такая же. Сначала 3 года вдалбливают тонны непонятно зачем нужных знаний, а потом на 4 курсе оказывается, что это можно было понять и гораздо проще, если бы сразу показали, зачем и как это нужно на практике
Большинство преподавателей не умеет учить, а программы составляются не с той задачей, чтобы обучаемый понял. Большая часть материала просто зубрится без понимания, а потом из-за не использования просто забывается.
Ну почему же - сразу с первого курса идут параллельно аналитическая геометрия (привет, все 2d и 3d движки) и линейная алгебра (которая нужна чтобы геометрические задачи решать, ага).
Вот с диффурами и том что на них основано (вариационное исчисление, ТУ всякое там) - сложно. Да и диффуры сами по себе мозг ломают.
Математика оптимизирует жизненные процессы. Это лично я, пожалуй, ощутила сильнее всего. Навык рассуждать, анализировать, обобщать и находить явные и неявные закономерности меняет отношения человека с внешним миром.
Математика — это умение рассуждать и доказывать! Вот чему должны учить в школе. Необходимое и достаточное. Посылки. Следствия. Причины. Последствия.
умение рассуждать и доказывать! Вот чему должны учить в школе. Необходимое и достаточное. Посылки. Следствия. Причины. Последствия.
Как же я с вами согласен, но так и до "дискредитации" договориться недалеко. Пока не того, о чем вы сперва подумали, а нынешней школьной системы образования, целью которой является послушный и знающий то_что_нужно ученик, а не рассуждающий, тем более о таких опасных вещах, как причины и следствия.
Вот интересно, все ли люди способны этому научиться?
У нас в ВУЗе была девушка - отличница, которая однажды у меня попросила объяснить какую-то тему техническую (допустим ТАУ). И вот я ей объясняю, она кивает, что-то записывает.. И тут я, для разнообразия, решил повторить всё то же самое, но другими словами. И у неё случился ступор. Она не могла провести параллели между этими двумя объяснениями. И тут я понял, что она просто "зубрилка". Она не понимает, а просто заучивает правильную последовательность слов. (кто сказал chatgpt?))
Силлогизмы.
Я до сих пор не могу поверить, что их не учат в школе. Да что там, их и в вузе обычно не учат. Я в детстве узнал о них чуть ли не случайно и не успокоился, пока не составил все 24. С тех пор они у меня прошились в голове и щёлкают автоматически, и я не очень понимаю, как люди без этого живут.
В курсе филосифии учат. По крайней мере, раньше учили, когда изучали Аристотеля.
Льюис Кэрролл "Логическая Игра". В детстве прочитал эту книгу - прекрасно рассказывает о силлогизмах на простых картинках. Помню, я ещё удивился, что в разделе "Математика" в библиотеке стоит автор "Алисы в стране чудес". Так я узнал, что Кэрролл был математиком.
Как живут? Очень просто. Просто пользуются, не зная такого слова. Например я. Погуглил "силлогизмы" и понял, что это то, что в жизни я называю - "ну это же логично", без вот этих формул с греческими буквами.
Хотя, допускаю, что многие люди склонны делать ошибки в своей "логике". Типа некоторые кошки - чёрные, некоторые чёрные объекты - телевизоры, значит некоторые кошки - телевизоры..
Мне больше всего не хватает описания формальных записей формул. Вроде читаешь — понятно, а следующая формула выглядит абсолютно непонятной, "как всем известно", откуда эти символы? Как их читать корректно? Иногда одни и те же обозначения в разных областях означают разное.
В нормальной математической статье (и, уж, тем более, в книге) всегда имеется раздел определений, который предшествует всем остальным разделам. Можете ли Вы привести пример многозначности?
Искал на известной доске преподавалетя математики, чтобы понятно объяснил фильтр Калмана. Все отказались, неважно это студент с красным дипломом, олимпиадник, или преподаватель из СССР. Некоторые переспрашивали, что это вообще такое. Кто-то сказал, что механика это не моя теоретическая физика, там я мастер, а тут — нет.
Сам фильтр я собрал на нодах в Unreal из описания фильтра тут на хабре (да и статьи по теме тут помечены "читать 10 минут")). Но хотелось бы понимать, правильно настраивать и как раз переспрашивать у кого-то понимающего больше. Казалось, все кто в курсе за логарифм натурального ряда по экспоненте его предела и прочее — объяснит. В итоге: смотрю плейлист на 50 видео, один микрокурс по фильтру на английском. Как минимум так бесплатнее и на английском (как и электротехника) почему-то понятнее.
<сарказм> у них буков меньше </сарказм>
Как минимум так бесплатнее и на английском (как и электротехника) почему-то понятнее.
Понятнее всего — немцы на английском. Или у меня такой опыт. Что виной — не знание немецкого, на котором будет еще понятнее, или специфичный акцент и отсутствие жаргонизмов — хз.
Мне кажется, главная причина сложности математики в абстрактности
Вероятно, пресловутые математические способности как раз и состоят в умении строить в голове "визуализацию" любых систем. Визуализация крайне важна, потому что дает перейти от зубрежки к пониманию. Это критически важно.
И таких уровней способностей несколько. Условно:
Easy — арифметика. Можно хоть на яблоках, хоть на деньгах, справится практически любой.
Medium — матанализ. Помню когда нам в школе рассказывали о производной, это воспринималось как неведомая е-на. До тех пор, пока не сообщили дополнительную инфу про скорость и ускорение (почему с этого нельзя было начать?!). И сразу всё становится на свои места. Матанализ в целом относительно прост, потому что тесно связан с физикой и геометрией, а там рисуй не хочу.
Hard — абстрактная алгебра. Вот тут жопа. Все эти группы, кольца и прочие гомотопии часто вообще не имеют никого аналога в повседневной жизни, поэтому мозг остается с ними один на один. Единицы процентов способны это вывезти (лично я не очень).
учебному процессу не хватает по-настоящему сильных учебников, а главное, времени
Лично я уверен, что главная проблема нашей школьной программы — слишком позднее разделение специализаций. Оно происходит только в вузе, а школа мучает всех одинаково.
9 классов вполне достаточно, чтобы дать пресловутый базовый кругозор. А дальше уже нужно разделять — кому-то физика и математика, кому-то литература и история.
И дело тут не столько во времени. Главное, что смешанное обучение тормозит всех. Преподы вынуждены ориентироваться на класс в среднем, но больше половины учеников не вывозят (и даже пробовать не хотят) то, что могли бы осилить лидеры.
Хех, один довольно известный математик, он из глубинки, рассказывал, как в детстве играл в карты, в дурачка с бабушкой и её подругами. И выносил их вчистую.
Так он в голове держал разложенную колоду и по мере игры карты-то из неё и выкидывал.
Такая сила визуализации мало кому дана, простые смертные судорожно пытаются вспомнить, вышла карта из игры или нет, а он всё видел внутренним взором.
Я, наоборот, не могла понять школьную физику, пока на подготовительных курсах в вузе не узнала, что ускорение - это производная, и т.д.
Про визуализацию — среди математиков есть мнение, что она как раз наоборот, вредна. В том как раз смысле, что если вы изучаете математику при помощи визуализации, то вам станет трудно уже где-то на подходах к абстрактной алгебре. А ведь это ещё не самый передовой раздел математики, группы, кольца и гомотопии — это довольно "элементарные" (для работающего математика) понятия, с них всё самое интересное только начинается. Поэтому математику надо тренировать не визуальное воображение, а абстрактное мышление: грубо говоря, вы всё равно не сможете представить, как выглядит когомология пучков абелевых групп, а работать с ней, при должном навыке — сможете.
"Среди математематиков" ещё есть такое мнение: Академик Арнольд о преподавании математики
и говорит: Ты ж математик? Функция нужна, которая вот так себя ведёт, наверняка её уже кто-то придумал. И что вы ему ответите? Когомологии нулевые?
Ну и пишешь ему x = ay^3 + by^2 + cy + d Он инженер, ему сойдет.
Раздел статистики - экстраполяция рядов динамики посредством математического анализа.
Конкретно в вашем случае это x = -4y³ + 3y
Ну почти — изображено таки y(x). А вопрос был на самом деле на узнавание, и узнать нужно было многочлен Чебышева.
Нет-нет. Это не на узнавание (ну кубическую функцию мы тут все опознаем), а на аппроксимацию. Вы же написали вводные - пришёл инженер и показал график (хотя график-то тут особо и не нужен, лучше точные координаты точек). Сомневаюсь, что он специально для этого взял какую-то характерную кривую и просто решил проверить библиографическое знание алгебраических функций))
Я вот понятия не имел о многочленах Чебышева, просто построил в калькуляторе график кубической функции, посмотрел на экстремумы, "подёргал коэффициенты", понял зависимости и наконец "опознал".
И это мы ещё не начали "пытать" инженера - данные какого именно процесса он предоставил (чтобы сразу прикинуть - степенная, логарифмическая, тригонометрическая и т.п.)...
Визуальное представление всех алгебраических функций вы все равно не запомните))
Тут уже и узлы иррациональные, и найти обратную функцию для многочлена 11-ой степени будет довольно проблематично.
А так, многочлены Чебышева — это база, которые имеют непосредственное отношение к тригонометрии, преобразованию Фурье и степенным рядам. Кто об этом должен знать, как не математик, который может себе позволить заниматься исключительно математикой всё доступное время?
Похоже, тут есть товарищи, которые могут промоделировать эту функцию, не зная о многочленах Чебышева? Ну ок, давайте свой решение. Мы же вроде говорим о математике, а не о голосовании. Покажите вывод многочлена 11-ой степени, значение которого не превышает ±1 в диапазоне (-1,1). И про обратную функцию тоже не забудьте.
Помню когда нам в школе рассказывали о производной, это воспринималось как неведомая е-на. До тех пор, пока не сообщили дополнительную инфу про скорость и ускорение
А чем скорость и ускорение лучше, чем просто производная? Заменили одно абстрактное понятие на другое. Вот я не понимаю, как можно использовать скорость и ускорение в физическом смысле. Вот иду я по дороге, и думаю, какое ускорение у меня в каждый конкретный момент времени? Нет.
Более интересный смысл производной - это геометрический смысл. Предположим, мы хотим создать фонарик. Какая цель фонарика? Направлять свет так, чтобы каждый луч шел параллельно оси x, чтобы свет не рассеивался во все стороны. Как это сделать? Поставим на плоскости точку (0, 0) и проведем до нее лучи до нашей кривой. Какова должна быть форма этой кривой? Должна быть такой, чтобы отраженный луч шел параллельно оси x. А что такое отраженный луч? Из физики, угол отражения луча от прямой равен углу входа луча (или как это там формулируется). А как это выглядит для произвольной кривой? Тут в качестве прямой нужно рассмотреть касательную к кривой в этой точке. А что такое касательная? Вспоминаем, что тангенс угла касательной - это как раз таки производная. Дальше составляем простенькое диффур уравнение и решаем его.
Вот - хороший пример использования производной. Здесь, не зная, что такое производная, мы не сможем решить данную задачу. Также можно придумать аналогичные задачи "построить мост, на который сможет въехать машина, не заглохнув", "вычислить кривую поворота железнодорожных путей" и т.п.
И опять же, все предложенные тут задачи - это абстрактные задачи просто на тренировку логики, так как я не знаю, например, действительно ли в фонариках используется данная форма кривой. Но эти абстрактные задачи показывают, зачем нужно понятие производной
В фонариках обычно используют просто конусы, а вот в прожекторах и автомобильных фарах — парабалоид. Параболическая антенна выполняет прямо обратную задачу — фокусирует параллельный поток в одну точку, для усиления сигнала. Действительно ли парабола обладает таким свойством — неплохая задача для школьников.
Вот иду я по дороге, и думаю, какое ускорение у меня в каждый конкретный момент времени?
А вот о скорости таки думаете, когда оцениваете "успеете до стольких-то дойти или нет?". А скорость это уже первая производная. Ускорение - вторая производная, и если вы ведёте машину, то и о ней думаете в момент "успею обогнать или не успею?".
А вот о скорости таки думаете, когда оцениваете "успеете до стольких-то дойти или нет?
Нет. А как я о ней должен думать? Ну тоесть предположим я каким-то чудом вычислил, что сейчас иду со скоростью 4 км/ч, а должен 6 км/ч чтобы успеть. Что дальше? Я должен переставлять ноги в 1.5 раза быстрее, чтобы достичь этой скорости или как? Что мне это знание дает?
Второе, при чем здесь производная? Скорость (имеется в виду, средняя скорость) вычисляется по простой формуле из 3 буковок в 5-м классе. Где здесь применить производную?
Второе, при чем здесь производная? Скорость (имеется в виду, средняя скорость) вычисляется по простой формуле из 3 буковок в 5-м классе. Где здесь применить производную?
Вот эта простая формула и есть вторая производная. Просто в 5-м классе еще не положено знать, что такое производные. Да и в старших классах не всегда рассматривают переменные ускорения - для них ваша "простая формула" не годится, а тут всего лишь добавится третья производная (она же первая производная от ускорения).
А если еще и знать, что вектора - это не просто стрелочки, то все задачи по механики из школьного курса решаются на автопилоте почти не задумываясь (кроме начального составления модели по условию задачи).
А чем скорость и ускорение лучше, чем просто производная?
Тем что это понятия из реальной жизни.
Причем это не обязательно скорость физического движения, это скорость изменения любого параметра — например, цены.
Весь абзац про фонарик — лютая дичь, извините. Если для того, чтобы понять смысл производной, мне нужно решить "простенький диффур", то это как бы получается определение производной через первообразную. Эдакий unzip.zip. Не надо путать определения с приложениями.
Причем это не обязательно скорость физического движения, это скорость изменения любого параметра — например, цены
Так и чтоже означает абстрактное понятие "скорости" для реальной жизни? Ну скорость изменения цены - это что, например? Вот скорость изменения товара например 1 рубль в месяц, значит ли это, что в следующем месяце товар будет стоить на 1 рубль больше? Нет, он может стоить сколько угодно больше, и даже меньше иногда. Так как эту скорость применить.
И еще сложнее, как применить производную при вычислении скорости или ускорения? И зачем? Вот я знаю, что вчера товар стоил 2 рубля, сегодня 3. Как найти производную? Для нахождения производной функция должна быть непрерывной, что очевидно не так.
Если для того, чтобы понять смысл производной, мне нужно решить "простенький диффур", то это как бы получается определение производной через первообразную
Опять же, не обязательно следовать каким-то правилам. Чтобы решить "простенький" диффур, не обязательно вычислять интеграл. Можно попробовать найти решение перебором, например. Запихнуть уравнение в математический пакет. Тобишь, без знания первообразной вполне возможно решить данную задачу. Без знания производной - нет (хотя я не знаю, может современные chatGPT щелкают такие задачи как орехи, но раньше - нет)
Не надо путать определения с приложениями.
Зачем придумывать себе ограничения на ровном месте? Хочу понимать понятие через приложение и понимаю. Почему нет? Скорость и ускорение - тоже приложение производной, которые даже не отражают полностью ее суть.
Опять же, наверно я неправильно выражаю свои мысли. Может показаться, что я против того, чтобы понимать производную через скорость. Нет, я как раз за то, чтобы каждый человек пользовался своим методом для понимания математических понятий. Просто хотелось показать, что "скорость, ускорение" - это такая же неведомая фигня, как и собственно производная. Плюс дать другой способ для понимания этого понятия
Все эти группы, кольца и прочие гомотопии часто вообще не имеют никого аналога в повседневной жизни, поэтому мозг остается с ними один на один. Единицы процентов способны это вывезти (лично я не очень).
Надо очень хорошо понимать суть алгебры и геометрии. Этот два различных взгляда на одни и те же объекты. С одной стороны, с каждой алгебраической операцией связано некоторое преобразование геометрического пространства — пространства точек. В алгебре отвлекаются от геометрического пространства и пытаются изучать операции сами по себе. Но надо помнить, что всегда можно ввести геометрическое пространство (подходящим образом геометризовать алгебраическую структуру). С другой стороны, имеются сами преобразования, действующие в геометрическом пространстве. Ну, там, всякие сжатия/растяжения (гомотетии), повороты, отражения. В евклидовом пространстве. Правда, пространства бывают разные. А есть (внимание!) объекты, которые остаются инвариантными (то есть — сохраняются) при совершении преобразований. Длина, площадь, структура. Геометрия — это способ визуализации алгебры. Но алгебра позволяет отвлечься от конкретных образов, когда это необходимо. Но математики — народ очень любопытный. Если есть алгебраическая структура, то её очень хочется расшевелить. А давайте сделаем так, чтобы не было обратного элемента! А что будет, если единиц будем много? И т.д. и т.п.
Хоть царских дорог в математику и не существует, но есть разные. У дочери лучше пошло обучение, когда мне удалось объяснить, что математика это не про цифры, это про буквы и правила их перестановок. По крайней мере школьная. А дальше это не для нее к сожалению :(
(а мне кстати понимание, что геометрия описывается алгеброй только помешало — вместо поиска доп построений меня все время тянуло на написание системы уравнений)
Для желающих зайти дальше можно скачать или купить б/у Я.Б.Зельдович Высшая математика для начинающих, С.И.Туманов Элементарная алгебра (скачать можно на sheba.spb.ru и nnmclub.to — на авито хотят 3000 руб за экземпляр )
Да, книжки Зельдовича я прочитал в детстве, практически. Они до сих пор стоят у меня на полке в первом ряду. Кроме ВМ для начинающих была ещё книга Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. "Элементы прикладной математики" 65-го года, и тех же авторов "Элементы математической физики" 73-го года. Мне иногда кажется, что без этих книг я бы никогда ничего бы не понял.
Тех годов книги писали коллективом авторов так, чтобы было понятно тем, кто с этим сталкивается впервые. Один излагает материал, другие материал педагогически правильно обрабатывают. Иногда в одном лице как например И.М.Гельфанд
Один из крупнейших математиков XX века, биолог, педагог и организатор математического образования. Автор более 800 научных статей и около 30 монографий; основатель крупной научной школы.
Приятно что мою статью упомянули
О, сейчас много будет...
У меня всё диаметрально противоположно было. Папа был "технарь", поэтому с малых лет пытался меня научить математике. Далеко не всё гладко, кстати, шло - суть неизвестного в уравнениях он мне, например, пытался объяснить через крик. И сейчас я его даже понимаю))
Но в целом, мне математика заходила просто "на ура". Я мог делать домашние задания в "фоновом режиме" - т.е. время тратилось только на написание. Я до сих пор умею быстро в уме оперировать двузначными числами (и умножение, и квадраты, и даже деление с той или иной точностью), с трёхзначными тоже могу, но тут уже калькулятором воспользоваться будет быстрее. Всякие олимпиады тоже решал практически не напрягаясь. Плюс я ещё "дитя советской эпохи", а в те времена очень распространена была научно-популярная литература.
Меня вот, больше всего "вдохновил" Мартин Гарднер. Для начинающего это, конечно, сложновато на первый взгляд. Но порог вхождения там действительно минимальный. Так что очень рекомендую. Плюс у него библиография на русском вполне приличная.
По мере обучения в школе выяснилось что геометрия мне "заходит" ещё легче, чем алгебра. Я практически не учил теоремы - я многое мог доказать самостоятельно.
А вот в институте мне уже многое не зашло - теорвер и диффуры, например - ну совсем "не моё". Матанализ, статистика, арифметика - наоборот, даже не напрягали мозг))
А вот геометрии в институте практически не стало. Геометрия, вообще, довольно проблемный предмет. Требует не только какого-то минимального интеллекта и уровня понимания абстракций, но и пространственного мышления. А это, как по мне, вообще не каждому дано от рождения. И в школе она очень плохо многим заходила... Стереометрия для многих - вообще вилы. Что уж говорить о неевклидовых...
Благодаря Гарднеру, например, заинтересовался "проблемами Гильберта"- очень занимательные там вещи, оказывается, есть))
Ещё один небольшой бонус - математический и "геометрический" склад ума позволяет тест Айзенка проходить с максимальной эффективностью:
Практической пользы от этого ноль (не знаю, может в США было бы попроще с этим), но самолюбие немного греет. Заодно появляется понимание того что тест довольно дисбалансен и нифига не объективен.
А потом внезапно жизнь завертелась и на математику не осталось времени... До сих пор не доходят руки почитать Пенроуза, например.
А сейчас, вдруг снова потянуло. Я уже на Хабре даже потихоньку стал встревать в математические дискуссии)) И вот иногда задумываюсь - а может всё-таки стоило в своё время попробовать в науку (именно математическую) пойти?.. Не факт, что я бы смог чего-то добиться, конечно, но попробовать может и стоило...
Если не секрет, высокий IQ помогает выигрывать в карточные и настольные игры? )))
Из всего подходящего под это определение я, пожалуй, только в "Gwent: The Witcher Card Game" залипал серьёзно))
Там, конечно, своей специфики много... Например, по-хорошему, нужен талант декбилдинга. Нет, даже серьёзные киберкотлеты частенько не могут в декбилдинг, но зато очень хорошо играют "чужими" деками. Но иметь такой талант однозначно лучше, чем не иметь - удивить противника нестандартной декой всегда в плюс. Так вот, декбилдинг в Гвинте это одновременно и несколько творческое занятие (надо прям же выдумать что-то - какую-то комбу, синергию и т.п.), и аналитическое - надо хорошо просчитывать наперёд вероятности. Там вообще довольно много математики и теорвера в частности. Это реально помогает корректно оценивать различные вероятности. Заодно пришлось вникнуть что такое "корейский рандом" и т.п. Попусту уже не бомбить "включен режим угнетения".
Сама же суть геймплея завязана скорее на логике и анализе (основная стратегия победы - отыгрыш от предполагаемой руки оппонента), но там навалом арифметики - надо в уме производить много примитивных арифметических операций.
У меня получалось играть относительно средне (обычно топ-1000, раз был в топ-100). И я даже понимаю объективные причины этого - мне не хватает усидчивости. Там реально надо себя ограничивать и не делать даже вполне очевидных, но поспешных ходов. Можно упустить из виду какой-либо нюанс (условно "подставиться под Игни"). А поскольку я играл исключительно для развлечения - напрягаться лишний раз мне не хотелось и "до фитиля" я думаю редко. Это вот прям очень сильно мешает - 1 из 3 проигрышей обычно от элементарного поспешного миссплея.
В целом, резюмируя - в Гвинте нужны хорошие аналитические способности, простейшая арифметика и теорвер. Первые два из этого списка как раз перекликается с тестами на IQ. Ну и память, в том числе и краткосрочная - надо держать в голове довольно приличные объёмы данных.
Так что да, однозначно помогает))
UPD: Про шахматы забыл. Играть умею (даже дебютную теорию немножко знаю), но очень редко доводится. И те же проблемы с поспешностью - у меня не получается в глубокий анализ из-за лени)) На три хода вперёд прикинул и нормально. А на четвертом матовая позиция вдруг вылезает)) Условные 1600 ЭЛО, при некоторой практике я, конечно, сделаю. Но это однозначно не моя игра))
В то же время я (да думаю многие) встречал людей, ну мягко говоря, не самых эрудированных, которые при этом "рвут в шахматы"...
UPD2: В покер ещё играл)) Ну там совсем всё примитивно - там исключительно психология рулит. Даже от вероятностей толку мало.
Гарднера решительно плюсую. Добрался до него только в 11 классе школы, но качественный скачок в плане мышления и логики ощутил очень сильно.
Большой пребольшой плюс ! Я думал я один такой. Мне 61. Сейчас читаю Аски, Рой, Эндрюс "Специальные функции". Чисто удовольствия и интереса ради. Потрясающе интересно написано. Не только с изложением и доказательством фактов, но и с историческими отсылками. Математику в вузе учить бестолку. Там думаешь не о красоте, а о том как побыстрее спихнуть зачет. По-настоящему её можно изучать только для себя.
Сложность математики исключительно в методах её преподавания и амбициях некоторых математиков, возводящих её в ранг религии. Немало этому поспособствовали товарищи из общества под коллективным именем "Бурбаки", которые решили, что на самом деле математика первична, а физика, геометрия и алгебра — вторичны (хотя исторически всё прямо наоборот). Я начал всерьёз изучать математику именно как взрослый, в районе 30-и лет — и именно для решения сугубо практических задач, готовых решений для которых либо не нашлось, либо они меня совершенно не устраивали. С тех пор накопилось достаточно мыслей на эту тему и даже сформировались идеи для статьи в концепции "математика для гуманитариев", которые я периодически высказываю в комментариях — и конечно же, они сильно конфликтуют с мировоззрением математиков настоящих. Лайк, если интересно увидеть эту статью на хабре:)
Меня в математике бесили вещи, где надо было ДОГАДАТЬСЯ! Догадаться в выражении — что надо вот такую хрень обозначить как t, и уравнение решалось. Догадаться в задаче — куда какой перпендикуляр провести. Символьное интегрирование — так вообще шаманизм чистой воды с книгой заклинаний (справочник интегралов) и магией подстановок которые надо то-ли запомнить, то-ли чувствовать интуитивно. В итоге, геометрия для меня перестала существовать — как только было показано что решение геометрической задачи эквивалентно решению системы алгебраических уравнений. Хвала Гауссу и его последователям, чтобы решить систему уравнений, не нужно ни до чего догадываться… А после курса численных методов — для меня так же перестали существовать символьные интегралы — может оно кому-то и интересно поиграться с формулами, но мне проще долбануть численным методом если понадобится… В общем, стало понятно что хреновый из меня будет математик — и я пошел в инженеры-программисты!
Догадывание — это тоже процесс перебора, просто более высокоуровневый и неоднородный.
Не совсем так. Точнее для задачника по матану Демидовича, это так. Для задач серьёзных, боюсь к перебору дело не сводится. Даже к самому высокоуровневому и неоднородному. Поднимал тут уже эту тему в разговоре о нейросетях. Очень советую, почитайте книжку "Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел". Книжка очень давняя(1977-й, советское издание 1980-й), так что последних результатов там нет. Написана на очень сильном, но всё-же любительском уровне. Но главное её достоинство - историчность повествования, пусть даже в ущерб его математической связности. Это высвечивает самое главное во всей этой истории - развитие идей. Ей богу когда это читаешь, кажется что рукой её героев водило само Провидение ! Думаю никаким перебором это необъяснимо. Это уже интуиция, озарение, искра божья... Почему кстати я весьма скептически отношусь к возможности создания сильного ИИ.
где надо было ДОГАДАТЬСЯ
Ключевое слово здесь не ДОГАДАТЬСЯ*, а НАДО. Двадцать первый век, все уже давно усвоили, что другого человека надо уважать, что насилие ни к чему хорошему не приводит и т. п. Но отчего-то до сих пор считается, что к детям (до 22 лет) надо относиться не как к людям, а приблизительно как к цирковым собачкам. Всеобщая ненависть к математике — это, быть может, наименьшая из проблем, которые из этого происходят.
Снова буду рекламировать Диму Зицера.
https://www.youtube.com/results?search_query=дима+зицер
* Хотя, конечно, когда заставляют за 40 минут догадаться до того, до чего миллионы людей не догадывались в течение миллионов лет — это, конечно, отдельный вид извращённого издевательства. Приблизительно как заставлять к завтрашнему дню написать шедевр, который послезавтра можно было бы продать на сотбис за миллион долларов.
Извините за замечание не по существу, но меня охватывает ужас, когда я вижу «то-ли». Как инженер-программист инженеру-программисту говорю. Ну не скомпилируется же код, если его так писать!
С одной стороны, вы правы, а с другой...
Не для спора, а в качестве "жалобы в спортлото".))
Не смог сходу вспомнить, как правильно. В первых результатах выдачи Гугла обнаружил такое: "Слово «то ли» правильно пишется раздельно. Да, это одно слово, союз, служебная часть речи, служащая для [...]"
На мой взгляд "компилятор" сделан нелогично и нуждается в исправлении.
П.С. а почему не "ес ли"?
В выдаче Гугла можно найти вообще любое мнение. Надо пользоваться авторитетными источниками. Для «не смог сходу вспомнить, как правильно» это, например, http://gramota.ru или Розенталь.
А «если» потому, что слова «ес» нет, это слово исторически давно слилось воедино. До фиксирования литературной нормы в словарях.
Ха! Ну так а какой интерес тогда - если тупо по алгоритму? Пусть роботы решают.
Это же самое вкусное в задачах "Заметим, что..."
Круто, что у автора получилось!
Для меня проблема изучения математики в зрелом возрасте в том, что невозможно найти материалы, где математика объяснялась бы человеческими словами, "на пальцах". Даже если книжка буквально называется "Математика простым языком" или "Математика для гуманитариев", внутри всё равно "математики объясняют для математиков". Если кто-то знает книжку, где например тригонометрия объясняется реально простым языком, был бы признателен.
Получилось - это очень условно, например, рядом с ребятами из комментариев. Но для уверенности в себе хватило (пока).
материалы, где математика объяснялась бы человеческими словами, "на пальцах".
И с наглядной визуализацией!
https://youtube.com/3blue1brown
Если математика так полезна, почему не на каждом предприятии есть должность "математик"?
Получалось ли у кого взять на работу математика, чтобы дела пошли в гору?
Потому что знание математики для решения производственных задач - условие необходимое, но не достаточное. Поэтому берут специалистов, которые кроме математики знают что-то ещё. Бухучёт, например, или сопромат.
Потому что капитализм. )))
"Народный фитнес СССР – производственная гимнастика: 10-минутки у станков и эфир на всю страну" https://www.sports.ru/tribuna/blogs/allresp/2785936.html
По моим данным выпускники мехмата и ВМиК без проблем находят работу по специальности. Какая разница что считать? Деньги, акции, человеков? Абстрактный подход рулит.
По некоторым данным, например в АМД выстроена цепочка - бизнес дает задачи инженерам, инженеры - физикам, физики - математикам, математики - программистам.
Выглядит как реклама, плавает как реклама и крякает как реклама))).
Реклама математики?)
Боюсь, что нет.
Каждую неделю я пишу дайджест (как и мои коллеги @SLY_Gи @Markaty). По большей части это наша добровольная социальная активность для пользователей. Разумеется, я вставлю в статью анонс того, что делает наша команда - в интеграции или без. Тем более что конкурс не требует ни оплат, ни даже регистрации.
Математика похожа на задачу снять кошку с дерева.
Дерево - это практика применения. Сначала оно помогает - даёт опору понимания. А затем?
При изучении сначала связь с практическими задачами помогает, а потом связь с менее абстрактными задачами начинает только мешать. Отвязаться сложно - то есть, сложно правильно повысить уровень абстракции. И в этот момент проявляется, что математика неосознанно математиками ощущается религией. Один из вариантов дальнейших неправильных действий - это сказать, что в точке, когда ты уже дошёл до верха абстрагирование достигло своей высшей силы. Ты прочитал учебник. Ты залез наверх и взял кошку на руки. На этом всё. Удачи!
Ну, все знают, что спуститься с дерева сложнее, чем подняться.
Так что есть ещё и следующая часть математики - в которой абстрагирование нужно вести в обратную сторону, можно сказать, ломать именно то что тебе помогало. Отталкиваться от самодовольного верха. Философия-то для математика не обязательна... казалось бы.
При правильном подходе к изучению и успехе в усвоении у вас не должно складываться ощущение, что в математике имеются вообще какие-то абстракции: все в ней становится реальным. Для меня "абстракция" числа, понятия бесконечности, линейного пространства или меры Лебега не менее реальны, чем чашка, из которой я утром пью свой кофе.
Математику надо преподавать в историческом разрезе, а не только в логическом. Как перед математиками вставали проблемы, как они мучались, их решая ), и, наконец, как находили решения. Тогда у изучающих будет понимание, что, как и почему.
"Сегодня мы расскажем о Гротендике и о том, как он думал, что открыл и как прекрасно жил в Пиренеях почти 30 лет и, пока не умер, ни с кем не общался. И вы не будете. "
Математику надо преподавать в историческом разрезе
Лучше не надо, философию для не гуманитариев уже так угробили, превратив из потенциально интересного предмета для осмысления мира в зануднейшее заучивание что-кто-когда сказал из известных философов, в результате общего понимания картины у изучающего не остается совершенно...
Как я Вас понимаю! Я двигался по пути кружок физики - физматшкола (239 в Питере) - физфак (тогда ЛГУ) - ФТИ АН им Иоффе и люто ненавидел математику. Кстати, программированием я тоже увлекся в школе(это 1974 год!) и до сих пор им занимаюсь, правда в только в приборах и роботах. И таки да, математика сложнее матанализа для меня закрыта. Очень обидно, когда для решения простейшей задачи приходится обращаться к студентам, даже сформулировать задачу не всегда корректно получается
Я старше Вас, из другого поколения, в каком-то смысле другой реальности. Мне очень сложно судить о том кто, как и чему учил вас. У меня были другие учебники, десятилетка и специалитет. В любом случае Вы напрасно драматизируете пробелы в математических знаниях. Вы учитесь новому ровно до тех пор пока эти пробелы для вас существуют.
Я никогда не отличался особой любовью к математике, и кажется это было взаимно. Однако более двух десятилетий я был вынужден так или иначе с ней взаимодействовать. Просто так сложилось, что ещё в юности я встал на тропу прикладной оптимизации и не сходил с неё долгие годы. В конечном итоге, все представление о математике свелось к минимизации/максимизации времени, денег, трудоемкости, чисел и абстракций.
Да, абстракции тоже могут являться аргументами и что более удивительно — вы сами можете создавать собственные абстракции и свою математику для них. Просто, в школе и университете вас учат чужой математике и чужим абстракциям — Абеля, Лейбница, Галуа и других. Нет ничего страшного в том, что бы это не понимать, забывать и не использовать. Мне, например, бывает интересно слушать какие-то удивительные факты из аналитической геометрии и топологии, которые я никогда не использовал и скорее всего никогда не использую, более того забуду спустя пару недель.
Более того, нет ничего зазорного в том, что бы упираться в сложность подобных абстракций. Просто, те, кто их описывал, тоже сталкивались со сложностью их изложения. Примерно пол года назад я работал над библиотекой для интервальных вычислений. Приходилось пользоваться разными источниками и в силу относительной новизны данного раздела математики в разных источниках данные абстракции были определены в разных терминах, разными символами и разные авторы фокусировались на отдельных операциях или свойствах больше чем на других. В общем, что бы добиться какого-то результата в прикладной области пришлось определить свою абстракцию и привести все имеющиеся к ней.
Математика сродни рисованию. Можно не уметь рисовать. Можно уметь рисовать только портреты или пейзажи. Сложно быть мастером во всем, но можно быть мастером в чем-то своём. Что тоже в общем-то сложно.
в школах не изучают математику, а осваивают программу
А какие ещё варианты при массовом образовании?
А вот мне всегда казалось странным, почему кого-то отталкивает "абстрактность" и "неприменимость" математики. Тотже Толкиен или какиенибудь марвеловские "мстители" такие же абстрактные и неприменимые в реальной жизни. Но это почемуто мало кого пугает.
Хотя абстрактность - она разная бывает. Я боле-менее хорошо знал математику и в школе и в вузе, но у меня плохо усваивались "внутренне-абстрактные" понятия, формулировки теорем, например. Когда лектор зачитывает формулировку теоремы, то нифига не понятно, но когда он переходит к "например", и приводит такойже абстрактный, математический но пример (например, уравнение), все становится гораздо яснее.
Проблема в изучении математики - это то, что для ее изучения надо думать. Но куда большая проблема - это то, что некоторым людям кажется, что нужно думать по какому-то шаблону. Даже здесь я постоянно вижу комментарии, что все пути в математике строго определены, и все решается единственным возможным образом, но это не так. Единственный способ понять математику, это задуматься - а как бы решал это я? Не важно, каким способом. Каким получится.
Люди думают, что математику в них ктото должен положить, но на самом деле, это они должны ее откуда-то взять.
Даже здесь я постоянно вижу комментарии, что все пути в математике строго определены, и все решается единственным возможным образом, но это не так.
Верно. Одну и ту же задачу часто можно решить несколькими способами, и в любом случае решение будет правильным.
Проблемы чаще возникают при "вхождении" в тему, т.к. чтобы что-то понять - надо это как-то сопоставить с уже известным. "Чистые" математики об этом забывают, для них математика существует ради математики. Для остальных - это инструмент решения их практических задач, потому им будет проще в это "войти" через что-то понятное им сейчас.
Одну и ту же задачу часто можно решить несколькими способами
Я даже имел ввиду не совсем это. Я имел в виду, что задачу можно решить даже "неправильным" способом, и это все равно будет правильное решение. Можно почитать истории каких-нибудь математиков, у которых было множество ошибок в решениях, но решение все равно было правильно.
Это чем-то похоже на идеи платонизма: решение (правильный ответ) существует где-то во вселенной, и неважно, каким способом мы к нему придем. Да, в реальности все несколько сложнее, но основная идея именно такая.
надо это как-то сопоставить с уже известным
Это да.
Для остальных - это инструмент решения их практических задач
А вот это как раз не понятно. Зачем комуто решение практических задач? Мне кажется, и нужно внушать мысль, что математика - абстрактная вещь
Я имел в виду, что задачу можно решить даже "неправильным" способом, и это все равно будет правильное решение.
Вот как раз не будет даже несмотря на совпадение ответа с правильным :)
Но как правило нет "единственно верного" способа решения. Можно так, можно так, в крайнем случае можно и просто назвать решение и доказать, что оно - верное, т.е. что удовлетворяет условию задачи и что других решений нет, т.е. как-бы и не решая даже задачу.
А вот это как раз не понятно. Зачем комуто решение практических задач? Мне кажется, и нужно внушать мысль, что математика - абстрактная вещь
Верно. Но не всем математика нужна ради математики как наука, изучающая саму себя.
А вот как способ определить длину лестницы, зная ширину и высоту проёма, без непосредственного измерения "по диагонали" - уже нужна. Или как рассчитать траекторию вывода спутника на орбиту. И т.д. и т.п. Для многих математика - это инструмент. Который надо знать для того, чтобы им эффективно пользоваться. А не впадать в ступор "у меня нет шаблона решения этой задачи, всё пропало!!!111".
Вот как раз не будет даже несмотря на совпадение ответа с правильным
Нет такой теоремы, которая была доказана правильно с первой попытки :)
Тут не очень понятно, что такое "правильно".
Вот например кучу лет мы изучали интеграл Римана. А потом раз, и в теории вероятности откуда-то возник интеграл Лебега. Что это, откуда? Просто некоторые (да почти все, наверно) задачи из теории вероятностей не решаются интегралом Римана. И как должен был поступить какой-нибудь условный Колмагоров, когда разрабатывал теорвер? "А, ну это сделать нельзя, брошу тогда эту затею"? Что в этом плане считается правильным и неправильным?
Или более интересный пример, с "бесконечно малой" величиной
До Коши, понятие бесконечно малого было другим. Вот цитата из википедии
"Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым — выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен"
Тоесть, даже применяя неправильный, плохо определенный механизм, математика в ту эпоху как-то развивалась. Можно ли заявить, что до Коши не было математики? Я бы побоялся так утверждать.
Поэтому не стоит бояться предлагать "неправильное" решение. Тут как в программировании - в каждой программе есть куча ошибок, как архитектурных, так и мелких опечаток, можем ли мы на этом основании заключить, что программы не существует?
Но не всем математика нужна ради математики как наука
Понятно, что не всем. Вопрос в том, что если вдруг кому-то нужно изучить математику (сдать экзамен, зачет), то не стоит учить ее с применимостью к реальному миру. Нужно свыкнуться с тем, что математика - это абстрактная хрень, и учить ее соответствующим образом.
Или как рассчитать траекторию вывода спутника на орбиту
Интересно, какому проценту людей нужно это делать? :)
Опять же, что такое "траектория вывода спутника на орбиту"? Как происходит вывод спутника? Просто берут и запускают его по какой-то траектории? Сомневаюсь. Скорее всего ракету в процессе полета както немного корректируют. Значит ли это, что траектория не верна? Откуда берутся все "докорректировки"? Значит ли это, что пока я не пойму почему нужна корректировка, я не смогу утверждать, что знаю "траекторию вывода спутника на орбиту"? Потомучто большинство изучающих так и делают. "Я не понимаю этот момент, значит, не понимаю вообще ничего"
Нет такой теоремы, которая была доказана правильно с первой попытки :)
Значит, нет такой теоремы, которая была бы доказана с первой попытки. Только и всего :)
плохо определенный механизм
Это проблема определения, а не решения. Такое бывает... Приходится вводить свои определения за отсутствием общепринятых. Или уточнять, которым из распространённых определений пользуемся. Иногда и сейчас приходится.
"А, ну это сделать нельзя, брошу тогда эту затею"?
Никто не мешает вводить свои "расширения", если существующих недостаточно. Например, в области действительных чисел на ноль делить нельзя, но можно ввести такой тип чисел и операции над ними, где будет можно.
Можно даже у существующего раздела математики поменять аксиоматику на эквивалентную. Т.е. ничего "на выходе" не изменится, но зато старые аксиомы станут теоремами (а некоторые старые теоремы - могут стать аксиомами).
Вопрос в том, что если вдруг кому-то нужно изучить математику (сдать экзамен, зачет), то не стоит учить ее с применимостью к реальному миру. Нужно свыкнуться с тем, что математика - это абстрактная хрень, и учить ее соответствующим образом.
С этим всегда надо свыкаться. Но для "сдал и забыл" - обычно вообще вникать не хочется ведь...
Значит ли это, что траектория не верна?
Которая траектория? Расчётная, фактическая, оптимальная (по какому-то критерию), еще какая-то? ;) Для ответа на вопрос надо сперва уточнить, о которой траектории речь. Может вы всего лишь корректируете фактическую траекторию, возникающую из-за различных случайных факторов, для приближения к расчётной?
Значит, нет такой теоремы, которая была бы доказана с первой попытки
Значит, не так и страшно ошибиться. Только и всего.
Никто не мешает вводить свои "расширения", если существующих недостаточно
А как понять, это законно, "правильно" или нет? А что если мы введем свое "расширение" а окажется, что задачу можно было решить и без него?
Смысл в том, что для понимании математики нужно понять, что никаких правил в математике нет. Каждый может решать проблему как хочет. Может ввести какое-то "расширение", может вообще подложить костыль (вроде в теор физике так делали, не знаю, урегулировали сейчас там все проблемы или нет). Не существует никаких правил, делай что хочешь. Да, потом может выяснитсья, что можно было обойтись и без этого, но в этом и смысл - благодоря этому ты понял, почему оно работает именно так.
Это как программирование. Ты пишешь программу, и неизбежно в твоей программе будут какие-то костыли, недоработки и т.д. Какие-то из них ты в последствии исправишь, какие-то нет. Математика здесь ничем не отличается от программирования.
Проблема преподавании математики - в том, что нам внушают, что есть какие-то правила, которым нужно следовать чтобы решить любую задачу. Но нет.
обычно вообще вникать не хочется ведь...
Да, и в этом основная проблема при изучении математики. А не "абстрактность" и "неприменимость"
Которая траектория? Расчётная, фактическая, оптимальная (по какому-то критерию), еще какая-то?
Дак это вы скажите :) Вы предложили объяснять математику через построение траектории :)
содержит элемент взаимоотношений людей, и играет на тяге среднего человека к тому, чтобы
статьбыть героем
А зачем для этого марвел? Взаимотношения людей - в каждом первом фильме. "Стать героем" - для этого можно смотреть, я не знаю, фильмы про полицейских, пожарных. Что конкретно марвел добавляет того, чего нет в обычных фильмах?
Да, я понимаю, что марвел смотрят из-за красивой картинки, дорогих спецэффектов и т.п. Вопрос не в этом, а в том, почему у смотрящих не вызывает отторжения из-за чрезмерной "абстрактности и неприменимости в жизни"
одна задачка из учебника, которая легко решается с помощью леммы Йонеды, но автор её на тот момент ещё не дал
Есть разные способы понять математику. Понимание, "как думал автор" - один из способов. Но не обязательный. В момент обучения этим можно пренебречь и представить что лемма Йонеды уже изобретена
Есть разные способы понять математику. Понимание, "как думал автор" — один из способов. Но не обязательный. В момент обучения этим можно пренебречь и представить что лемма Йонеды уже изобретена
Не, нельзя. Даже если не глубоко копать, а остановиться на уровне 7 класса — есть задачка, треугольник, медиана, бла бла бла найдите угол. Все задачи на медианы штатно решаются через параллелограмм, это знает каждый выпускник. Только вот не то что до четырехугольников, до параллельных еще не дошли на тот момент. Соответственно магия кучи одинаковых углов недоступна.
"если представить что уже изобретено", то все легко решается. Единственная проблема — часть правильного решения задачи так же, как доказательства про равенство углов. В итоге в тот момент считать будущие теоремы доказанными это практически тавтология. Мы используем свойства углов у параллельных для доказательства того, что у углов есть эти свойства.
(а задача реально хреновая, угол находится, а то что при этом одна из сторон становится равной нулю, и таким образом фраза из "дано" угол равен 40 градусам" теряет смысл это учителя упорно не замечают)
Нет вхождений "Khan" в статье и комментариях, поэтому оставлю как дополнительный совет для тех, кого не пугает английский язык: https://www.khanacademy.org/
Отличный интерактивный сайт с видеоуроками по достаточно широкой базе — от детсада до колледжа (матан, комплексные числа и т.д.).
Для людей, которые уже заинтересовались математикой и обладают некоторой базой, могу посоветовать канал на YouTube 3blue1brown.
А что если на Хабре учинить цикл статей по математике? Нужен какой-то синтетический подход. Полная перезагрузка (сознания). Подкачать сдувшиеся после университета серые клеточки. Поискать связи теории с практикой. Убедиться в красоте математики. Увидеть за деревьями формул величественный лес...
Добавлю от себя, частично согласен с автором. Дополнительная проблема при обучении в том, что практически никогда не изучаются аспекты возникновения изучаемой области математики т.к. областей много, а времени мало. В итоге изучающий, в контексте современного образования, как бы и не задается вопросом "а зачем все это придумано"? Или если и задается, то ему врядли кто-то ответит в полной мере.
А когда вы имеете последовательную цепочку теорем, завязанных друг на друге, но непонятно зачем возникниших и в каких условиях, то навык математической интуиции тяжело приобрести.
В таких условиях мы не пониманием как люди (математики прошлого) пришли к тем выводам, которые мы в итоге изучаем и сколько трудов им это стоило. Мы имеем лишь сухой остаток в виде теории и доказательств, которые ещё нужно "расшифровать" чтобы понять что автор имел ввиду. Хорошо если преподаватель поможет с этим.
Проблема существует хотябы потому, что написана целая отдельная книга "Математический анализ в свете его истории" Э. Хайрер, Г. Ваннер.
О пользе математики на примере конкретной задачи: найти координаты точек пересечения двух окружностей.
Можно решать в лоб, "без помощи математики", решая уравнения средствами MathCAD, частное решение находится относительно несложно, но программа, выдающая общее решение довольно объемна...
А вот как та же задача решается математически:
https://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html
Я тоже встрять в разговор хочу и никого не хочу обидеть. Во первых школьная математика бесполезна если ты кроме неё что-то ещё учить будешь в будущем. Если только ты не хочешь стать учителем в школе. Потом ещё сейчас развелось математиков много судя по комментам. Теперь как заработать деньги на этом? Я не вижу никаких вариантов, если только кто-нибудь из вас и остальных сможет предложить вариант разложение больших чисел на простые множители за секунды. Это практически, или сможет что-то в теории, предложить кучу теорем, либо решать задачи тысячелетия, за которые получит деньги как Перельман . Тут ещё говорят что в вузе осваивают программу, так вам дают формулы и теоремы из разных разделов и времен не для того чтобы вы постигли их прям здесь и сейчас . А как бы на всю вашу оставшуюся жизнь, подумайте как бы дома. Конечно математику преподают по разному, кому то сухо без применения в жизни, кто-то наоборот только и сыплет примерами где применить. А может ваш учитель или преподаватель не хочет весь свой опыт вам передать? Он же тоже может быть эгоистом или сухое преподавание может дать вам область применения любую, а не ту которую он вам скажет. И вы будете думать что теория вероятности это вот карты покер и все. Я вот прослушал курс который можно охарактеризовать как квантовые алгоритмы, прошло время и я взял книгу квантовая механика так я офигел что не осилю и пару страниц из нее. Единственное что я понимаю так это математика которая рассказывается в стиле вузовского варианта, а когда я читал работы из других вузов и стран, то я ее не понимал. И на эти все мысли я сам не знаю ответов.
Бывает, поймаешь за пуговицу художника, чтобы объяснить ему про правильную светотень, а он от слова "косинус" впадает в ступор...
Начал читать по ссылке "плач математика" и вспомнил: в детстве (где-то между 10 и 14 годами) мне попалась книжка "приключения Электроника". До этого я видел фильм, но он был очень такой себе.
Поэтому когда я начал читать и натыкаться на формулы, названия теорем и всякие там объяснения вечных двигателей - я был несколько озадачен. И это не было скучным или нудным. Оттуда я узнал что такое теорема Ферма и что ее не могут доказать, хотя еще и самого понятия "теорема" не знал.
И там как раз автор показал общество, где математике учат совершенно не так, как учили меня в школе. Хотя врятли это было главной задачей автора. Я совершенно не помню сюжета книги (за пределами тех мест, где они с фильмом пересекаются), зато отлично помню историю как на первое апреля кто-то на доске в кабинете математики написал зубродробительную формулу. А при решении этой формулы на графике вырисовывался крокодил. Решать ее начал преподаватель с кличкой "крокодил".
И да, вот такую математику учить куда интереснее.
Царица наук: математика, беспощадная ты мука