Comments 24
Странная попытка смешать теорию множеств и теорию меры. Если хочется сравнить множества в "бытовом" смысле - считайте меру, равномощность это другое.
Так и нет никаких бытовых смыслов. Есть отрезки, у которых в общем представлении определены "элементы", правда без конкретики. При индуктивном рассмотрении каждого слоя отрезков не наблюдается взаимно однозначного соответствия.
Вы строите соответствие на отрезках между рациональными числами, которых очень мало (и в смысле мощности, и в смысле меры), никакой связи с мощностью множеств всех действительных чисел в заданных диапазонах нет.
Связь есть совершенно точно. Достаточно указать на то что из разумных (рациональных) чисел в конструктивном подходе строятся неразумные (иррациональные). Да и в общей практике это общеизвестный факт. Об этом, но без подробности, сообщено в статье.
И вот Ахилл не догнал черепаху.
Можно ли считать два множества равномощными, если у них строго не определены наличествующие элементы или хотя бы функция, их задающая? Нет.
Не знаю, что такое "наличествующие элементы", но если у нас есть конкретные множества - вещественные числа в отрезке [a, b], и определение равной мощности - существует взаимно однозначное соответствие, то всё складывается. Чтобы не заниматься философией - просто попробуйте всё расписать в аксиоматике ZFC. Потребуется время, но символы сложатся в правильную теорему.
Если очень хочется побыть Зеноном - извольте свой набор аксиом.
>у нас есть конкретные множества - вещественные числа в отрезке [a, b], и определение равной мощности - существует взаимно однозначное соответствие, то всё складывается.
Они более чем неконкретные. Что в литературе, на которую ссылался, что в элементарном рассмотрении не указано как определяются точки отрезков ("наличествующие элементы"). Если мы рассматриваем ЛЮБЫЕ, действительные числа в заданных границах (1 и 2 единиц), то это более чем "размыто" и не позволяет соотносить отрезки, ведь происходит один еле уловимый трюк перехода между РАЗНЫМИ слоями, которые не обозначены для деления самих отрезков. Напоминаю что по своим значениям сами отрезки поделены на разное количество ЕДИНИЦ. Почему нужно делить отрезки по слоям? Так мы явно укажем как определяются точно элементы отрезков чтобы явно определить возможное, взаимное сопоставление, что, более того, подчёркивает и различность самих отрезков. Так же от выявляемых, "наличествующих элементов" - разумных (рациональных) чисел, можно определять и неразумные (иррациональные), таким образом затрагивая ещё больше элементов, которые так же не будут сопоставляться при прямых попытках. Ничто не мешает придумывать функции (или даже семейства функций) перевода и проводить попытки сопоставлений на слоях уже неразумных (иррациональных) чисел, кроме, разве что, фантазии. Но при каждом получении слоёв неразумных (иррациональных) чисел из разумных (по всем слоям) количество несопоставляемых элементов лишь увеличится.
f: Q → I
>Если очень хочется побыть Зеноном - извольте свой набор аксиом.
Это может растянуться на долгие годы обдумывания. Нужно много фанатизма.
Нагнали туману в простейшем вопросе ). Да еще и в голову к Шеню залезли).
Умножение на 2 при отображении [0;1] --> [0;2] и деление на 2 при обратном отображении [0;2] --> [0;1] очевидным образом задаёт взаимно-однозначное соответствие [0;1] <--> [0;2]. Значит, отрезки [0;1] и [0;2] равномощны по определению равномощности множеств.
Но что если попытаться определять на отрезках числа, исходя из постепенного увеличения их единиц деления?
То получится другая аксиоматика множеств, в которой что-то там будет другим (например, определение равномощности), для которой надо доказывать или опровергать всякие теоремы. Ну и которая скорее всего не нужна никому, потому что текущие аксиоматики хорошо работают, где надо. А где не работают берут другие.
<blockquote>Известно, что из представления разумных (рациональных) чисел можно получать и неразумные (иррациональные), путём применения алгебраических операций над первыми по категории. </blockquote>
Что, любые иррациональные числа можно получить из рациональных? Доказательство будет?
вот почему в новом редакторов комментариев надо смотреть исходный код страницы, чтобы посмотреть, как сделать цитату??? И это не работает...
Ваша методика перебора точек на отрезке просто не сходится к множеству всех точек. Между множеством "все делители числа N" и множеством "все делители любых чисел" (хотя и это не есть ещё множество всех точек на отрезке даже по мощности) есть принципиальная качественная разница, поэтому ваши индуктивные рассуждения некорректны
Автор похоже не в курсе, что бесконечности бывают разными. Гуглить кардинальные числа.
А ещё, если приближать диагональ квадрата ступенчатой ломаной, можно доказать, что длина диагонали равна 2.
К сожалению, автор не умеет внятно объяснять. Это во первых. И во вторых - он находится под действием интуиции, которая побуждает его хвататься за первое встречное решение. Но это решение оказывается неправильным (или неправильно поданым).
Но суть интуитивного протеста автор изложил относительно ясно - очевидно разные объекты не могут быть равны. До полноценной формулировки он не дошёл, но попытался.
Теперь доработаем формулировку за автора.
Итак, дана аксиома - если для двух множеств можно установить отношение один к одному для каждого их элемента, то мощности множеств равны.
Задача - доказать применимость аксиомы к двум отрезкам, понимая под отрезком бесконечное множество точек, лежащих в заданном диапазоне одномерных координат. Это означает, что два множества - это множества точек, а соответствие между точками означает указание пары на втором отрезке для точки на первом.
Привычное доказательство равномощности очень простое, его суть следующая - какую бы точку мы не взяли на одном отрезке, на другом обязательно найдётся соответствующая пара. Вроде бы всё очевидно - каждой точке по паре. Значит равномощны?
Нет.
Для понимания приведём немного другую формулировку аксиомы:
Если для двух множеств можно установить отношение один к одному для всех их элементов, то мощности множеств равны. В этой формулировке заменено слово "каждого" на слово "всех" (с соответствующей правкой падежей). Вроде бы мелочь, но мелочь крайне важная.
Напомню, что мы имеем дело с бесконечным множеством. Сколько бы мы не углублялись в микроскопические недра отрезков, мы всегда найдём там новые точки. То есть у множества нет конца. И при этом мы применяем аксиому о всех точках. Как можно применить что-то ко всем точкам, если сколько бы мы точек не взяли, всегда найдутся дополнительные?
Встречается возражение вроде такого - мы же можем нарисовать символ, обозначающий бесконечность, значит мы можем рассуждать о понятии бесконечность как о чём-то целом, законченном, включающем всё, что там должно быть.
О да, нарисовать символ мы можем! И о концепции рассуждать мы точно можем. Но как рассуждения о концепциях помогут нам гарантировать (а именно это требуется в доказательстве), что именно у всех точек есть пары?
Мы можем сказать, что "сколько бы мы ни взяли ...", но это же сразу переводит разговор в русло конечных множеств. Ведь мы не можем взять все точки бесконечного множества. Или кто-то может? Научите, плиз, а?
Мне напомнят про математическую индукцию. Отлично! Но кто доказал, что математическая индукция работает для бесконечностей? А если доказательства нет - ну вы же понимаете, что это значит?
Мы можем, нарисовать два символа бесконечности, но потом остаётся лишь гадать, как там внутри этих множеств что-то с чем-то соотносится. Потому что всех точек мы не видим, и значит не знаем, есть у них пара, или нет. Хотя для любого конечного количества точек из данных множеств мы можем установить отношение один к одному. Но не для бесконечного количества. В этом проблема. Даже если мы будем продолжать процесс сопоставления точек до бесконечности - конца-то мы всё равно не достигнем. Потому что его нет.
Тут либо давать другое определение бесконечности (вводя конец), либо что-то делать с математиками (они же считают, что могут доказать что-то для бесконечностей).
Ну и следствие - Банах с Тарским нам уже рассказали, что при принятии за истину общепринятого подхода с закрыванием глаз на слово всех мы получим возможность доказать всё, что угодно, включая противоречащие друг другу утверждения, что в математике называется парадокс. Но по сути это признак ошибки в цепочке доказательств, ведущих к парадоксу. Ну и, собственно, ошибка - нельзя для всех точек бесконечного множества указать пары. Хотя если множество сопоставляется самому себе - вот тогда можно, и даже для бесконечного количества. Но если множества разные - ну извините, нельзя их сопоставлять. Или сначала следует указать, почему сопоставлять можно. Доказательно, разумеется.
Здравствуйте! Мне кажется, что и у Вас, и у автора статьи присутствует некоторое непонимание того, что математики говорят про мощности множеств, поэтому я попытаюсь показать, как это работает и почему возникающие вопросы и парадоксы в действительности бьют мимо цели.
1) Начнём с того, что временно забудем про мощности множеств, и будем рассуждать про множества сами по себе. Оказывается, что между некоторыми парами множеств можно установить биективное соответствие - "отношение один к одному", или, формально, существует функция, которая каждому элементу первого множества сопоставляет один элемент другого множества, причём у каждого элемента второго множества есть ровно один прообраз. Поэтому, на мой взгляд, странно разделять понятия "всех точек" и "каждой точки": если у нас есть функция, то мы можем банально подставить в неё любую интересующую нас точку (или элемент множества) и проверить принадлежность получившегося второму множеству (на самом деле, если принять некоторые естественные аксиомы вроде "если существуют два множества, то существует множество, содержащее их в качестве элементов", то можно доказать, что график этой функции существует, а значит, на мой взгляд, можно говорить, что всем точкам что-то сопоставлено). Более того, свойство биективности функции можно установить даже не прибегая к вычислению всех значений функции: например, очевидно, что функция, умножающая число на 2, переводит вещественные числа в себя, причём разные числа переводит в разные. Тогда математики говорят: отлично, у нас есть такое свойство пары множеств, будем говорить, что множества равномощны (выбор слова не имеет значения, можно было бы говорить, что они биективны, изоквантны или любым удобным способом). При этом понятия мощности множества ещё не существует: его можно ввести, то есть сопоставить каждому множеству некоторое множество так, чтобы можно было сравнивать не сами множества, а сопоставленные им, это как раз и есть упомянутые выше кардинальные числа.
Короче говоря, преступные математики не пудрят мозги честным трудящимся, доказывая, что в двух отрезках одинаковое количество точек, а пользуются собственным определением равномощности множеств, которое, вообще говоря, не обязано соответствовать бытовому смыслу: никого же, кажется, не удивляет то, что квадрат можно непрерывно продеформировать в круг и, следовательно, в некотором (топологическом) смысле они одинаковы? Так же и с множествами.
Тут может возникнуть вопрос - а почему математики пользуются именно такими определениями? Ответ - потому, что они логичны с точки зрения самих математиков и позволяют доказать много красивых теорем) Тем не менее, именно эти определения и аксиомы являются основанием той математики, которую мы знаем, и которая неоднократно подтверждалась и в естественных науках, и в информатике, что, правда, не гарантирует, что мы не придём однажды к противоречию.
2) Принципы математической и трансфинитной индукции работают, и это можно доказать. Я сошлюсь на книгу Куратовского и Мостовского "Теория множеств", там же можно прочитать и про другие интересные разделы теории множеств.
3) Про парадокс Банаха-Тарского. Парадоксом он является только в том смысле, что противоречит человеческой интуиции, сам по себе же он не приводит к противоречию математическому. Опять же, если мы верим, что аксиомы ZF (пример которой я привёл выше) не приводят к противоречию, то Гёделем доказано, что и аксиома выбора, на которой основывается доказательство парадокса, не приведёт к противоречию.
На самом деле, на парадокс Банаха-Тарского можно посмотреть с другой точки зрения. Рассмотрим следующий парадокс: возьмём наибольшее натуральное число N. Но число N+1 также натуральное и больше числа N, что невозможно, так как N - наибольшее. Противоречие - арифметика не работает) На самом деле это означает, что не существует наибольшего натурального числа. Так же и парадокс Банаха-Тарского: в частности, из него следует, что в трёхмерном пространстве не каждой фигуре можно приписать объём, в отличие от плоскости.
P.S. Прошу прощения, что в ходе изложения прыгал от элементов множества к точкам из примера, корректнее было бы писать везде про элементы.
Спасибо за пояснения, что-то стало понятнее :)
На самом деле вопрос в концентрации внимания на, мягко выражаясь, неподходящем объекте (здесь вспоминаются напёрсточники, но это не про математиков, это пример концентрации внимания не там).
Посмотрел Шеня, у него там внимание концентрируется следующим образом:
Сначала он вводит конечные множества, затем сообщает, что число элементов в конечном множестве называют мощностью. То есть мощность появляется до бесконечных множеств. Затем в отдельной главе он вводит понятие равномощности. И там уже сообщает примерно то же, что и вы, но без подробностей, как самоочевидный вывод, который выглядит так - неявно вводится определение слова "равномощные" в отношении множеств, которое потом разжёвывается указанием на то, что для конечных множеств это означает одинаковое число элементов.
Обратите внимание на "концентрацию внимания". Есть конечные множества, есть интуитивно понятная мощность конечных множеств, есть утверждение про равномощность, вводящее критерий однозначного соответствия, который опять прекрасно ложится на конечные множества, ну и, внезапно, следует коротенькая фраза - всё то же имеет смысл и для бесконечных множеств, а далее - пример с отрезками и задачи для самостоятельного решения.
На мой взгляд стоит исправить способ подачи материала. Здесь нет акцента на единственности элемента и произвольности его выбора. Введённая математиками равномощность требует выполнения критерия не "для каждого", а для любого единственного и произвольно выбранного. Для каждого означает для всех (в общепринятом смысле слова). А вот для единственного означает отсутствие необходимости думать о других. Произвольность же выбора гарантирует некое непонятное пока что свойство в случае с бесконечностями. Хотя в случае с конечными множествами произвольность гарантирует однозначное отображение всех элементов, что интуитивно вполне понятно и принимается без возражений.
Что гарантируется в случае с бесконечностями? Здесь мы переходим от одного типа объектов (конечные множества) к другому (бесконечные), при этом оставляя без изменений свойство однозначности отображения. Да, любой точке на отрезке можно указать отображение на другом отрезке. Но осуществлённый таким образом переход от конечных к бесконечным множествам с сохранением свойства однозначной отображаемости всё же требует каких-то пояснений.
Я согласен, что аксиоматический метод работает именно так, как вы описали, то есть если для неких объектов выполняется какое-то свойство, то этого для теории более чем достаточно. Но человекам хочется понятных аналогий, что бы интуиция не устраивала восстания. Поэтому и интересно понять, а что же гарантирует однозначность отображения в случае с бесконечностями? Не нарушается ли что-нибудь при переходе от конечных к бесконечным множествам? Не пропущено ли это "что-нибудь" при выводе дальнейшего дерева теорем с корнями в указанной неоднозначности?
Хотя в строгом смысле слова, если есть аксиома 2+2=5, то на все её неинтуитивные следствия следует закрыть глаза. С этим я согласен. Но вот маленький червь сомнения всё же терзает мои спутанные мысли...
Но может быть всё это относится уже не к множествам, а к аксиоматическому методу, выбранному математиками. Или всё же к конкретному способу его применения в конкретном случае? Например - в тексте Шеня стоит подчеркнуть аксиоматичность подхода, что бы отличать его от "наивной" теории множеств, которая своей "наивностью" будит несогласную интуицию.
потому, что они логичны с точки зрения самих математиков и позволяют доказать много красивых теорем)
Да, это здорово, особенно с точки зрения честных трудящихся :)
не каждой фигуре можно приписать объём, в отличие от плоскости
А чему равна площадь линии на плоскости?
Добавлю жару.
Следствием перехода к бесконечным множествам с подходами, применяемыми к конечным, является проблема ликвидации противоречий по всему дереву вывода, опирающемуся на способы работы, заимствованные от конечных множеств при указанном переходе.
Это общая формулировка, но есть и конкретика.
Как известно, бесконечные множества делят на множества разной мощности, обозначаемые кардинальными числами. Начало деления положил Кантор, предложив теорему, показывающую отличия счётных множеств от несчётных. Напомню, что теорема Кантора была им показана до выявления известного парадокса "множества всех множеств", приведшего к корректировке аксиоматической теории ZF. Соответственно, Кантору простительно не обращать внимание на некоторые тонкости, которые приводят к противоречиям вида "если в множество всех множеств включаем самоё себя, то это уже другое множество, которого нет в множестве всех множеств". Но после уточнения аксиоматики ZF математикам стоило обратить внимание на дерево вывода с участием бесконечностей.
Конкретно по теореме Кантора. В ней указывается способ конструирования бесконечных последовательностей нулей и единиц, не принадлежащих некому множеству всех множеств (ничего не напоминает?) бесконечных последовательностей нулей и единиц. Там каждой двоичной строке ставится в соответствие целое число. А потом показывается, что можно создать ещё одну строку, которой в множестве нет. Но давайте вспомним, что в множестве присутствуют целые числа. Одно число к одной строке. И невозможность добавить в множество новое число (через добавление новой строки) говорит нам о противоречии - целых ведь бесконечное количество, почему их нельзя добавить? Или с самого начала не стоило говорить о "всех" множествах? То есть о всех целых, по сути. Ведь имея сразу все целые, их можно, например, сложить и получить новое целое, которого нет в множестве "все целые".
Это такое следствие отсутствия конца у бесконечностей. Корень проблемы там во фразе "множество всех множеств". Вот этот вот "всех" сразу включает туда бесконечность, у которой нет конца. И мы чуть выше уже поняли, что если работать со словом "все", то и биекция бесконечностей становится недоказуемой. Но в теореме Кантора именно слово "всех" присутствует в полный рост.
Зайдём с другой стороны. Если найдётся способ нумерации вещественных чисел (которые один к одному соответствуют возможно бесконечным двоичным строкам), то мы получим счётное множество, которое по теореме Кантора считается несчётным, то есть противоречие.
Способ такой: возьмём произвольное вещественное число, сопоставим ему целое, например 1. После любого количества таких операций, при соблюдении условия уникальности сопоставляемых целых чисел, мы получим пронумерованное (счётное) множество вещественных чисел. И ничто нам не мешает так нумеровать любое другое вещественное число. То есть для любого вещественного мы можем указать целую пару. Не для всех, а для любого - это важно, как мы поняли выше. Обратно: возьмём произвольное целое. Проверим, есть ли это целое в составленном ранее множестве пар. Если нет - добавим, присоединив к нему произвольное вещественное, а если есть - мы нашли точное отображение. В случае добавления вещественного мы тоже нашли однозначное отображение, поскольку эта пара так же добавляется в множество пар и не даст нам сопоставить уже выбранным вещественным новое целое, или новому целому другое вещественное. Опять получаем ситуацию, когда любому произвольному целому можно однозначно сопоставить вещественное. Работает в обе стороны. Значит множество вещественных - счётно.
Как теперь быть с противоречиями?
Соедините концы отрезков прямыми. Возьмите их пересечение как некий полюс. Проводите через этот полюс прямую. Если она пересечет один отрезок, то пересечет и второй. Для разных прямых точки пересечения будут различными. Наоборот, по любой из точек одного из отрезков однозначно строится прямая, проходящая через эту точку и полюс - значит однозначно строится точка на втором отрезке.
Убедительно?
То есть мне нельзя комментировать, а вот такую чушь-статью писать можно
Да всё элементарно.
Взаимное соответствие работает только для счетных множеств - а множество точек на отрезке не является счетным, т.к. отрезок не состоит из точек, это непрерывная сущность.
И автор пытается счетным (пусть и бесконечным) числом стрелочек от одного отрезка к другому пересчитать несчётное множество иррациональных точек на отрезке - что невозможно, согласно диагональному аргументу Кантора.
Вот и всё, расходимся 😁
Равномощные отрезки… или исповедь сумасшедшего