Pull to refresh
232
-0.8
Дмитрий Притыкин @maisvendoo

Пользователь

Send message

Вульгаризмы в механике: о вредности термина «замедление»

Reading time4 min
Views9K

Введение


Довольно часто, особенно в обиходе инженерных дисциплин, употребляется понятие «замедление» то есть ускорение, действие которого приводит к уменьшению модуля скорости. При этом такому ускорению приписывается некий отрицательный знак, подчеркивающий этот самый замедляющий эффект.

По моему скромному мнению данное понятие является не только избыточным, но и вредным с методической точки зрения. Оно бросает своего рода мутную вуаль на суть величин, описывающих механическое движение.

На самом деле, чтобы описать то же торможение автомобиля или парашютиста совершенно необязательно приписывать ускорению знак, достаточно понимания, что ускорение есть величина векторная и умения грамотно переходить от операций с векторами к операциям с их проекциями на оси выбранной системы координат.

Статья имеет своей целью развенчать необходимость использования термина «замедление» при решении практических задач механики, и, если читателя не смущает очередная лекция по теормеху, добро пожаловать под кат.
Читать дальше →
Total votes 25: ↑16 and ↓9+7
Comments67

Трассировка печатной платы в KiCAD

Reading time8 min
Views111K


Введение



Одним из критических замечаний к предыдущей статье было следующее: дескать фу таким быть, стрелять из пушки по воробьям да ещё проприетарным софтом за 10000$, к тому же наверняка украденным с торрентов. Оставляя за кадром моральную сторону вопроса, а так же презумпцию невиновности, обратимся к следующему вопросу — а что там у нас имеется в Open Source секторе, пригодное для решения задач проектирования электронной техники. В частности изготовления печатных плат. Наиболее достойной, на мой взгляд, оказалась кроссплатформенная программа KiCAD, распространяемая по лицензии GNU GPL. Имеются версии для Linux, Windows и macOS.

Рассмотрим этот инструмент подробнее применительно к уже решенной мною задаче — трассировке печатной платы для преобразователя уровней на базе MAX232.

Читать дальше →
Total votes 39: ↑39 and ↓0+39
Comments69

Как «чайник» делал UART <-> RS232 конвертер для Orange Pi

Reading time12 min
Views95K

Введение



Началось всё с того, что я купил себе Orange Pi, поддавшись рекламному слогану «аналог Rasberi Pi всего за 15$». Девайс был заказан на алиэкспрессе и прибыл через пятнадцать дней ещё в феврале. Тогда же были куплены все необходимые дополнительные компоненты: радиатор на процессор, 15 ваттный блок питания, карточка micro SD объемом 32 Гб, HDMI-кабель для подключения монитора. За неимением времени он пылился в ящике стола аж до июня. И вот наконец дошли руки проверить его работоспособность.

Читать дальше →
Total votes 30: ↑20 and ↓10+10
Comments48

Ручная установка Windows 7/8/8.1/10 в систему с загрузчиком GRUB2

Reading time9 min
Views123K
Наверняка почти у каждого пользователя ОС Linux и ОС Windows, а я имею в виду именно тех, у кого, в силу ряда причин, установлены обе системы, время от времени возникал вопрос: «А нельзя ли, черт возьми, придумать способ, с помощью которого можно было бы устанавливать эти системы в произвольном порядке? Без порчи настроек загрузчика?» Ведь если ставим сначала Windows а потом Linux всё хорошо — линуксовый загрузчик (например GRUB) обычно подхватывает bootmgr. Если ставить в обратном порядке то увы. Даже с использованием GPT + EFI. В случае с EFI нет опасности перезаписи MBR, зато таки есть один нюанс, который лично мне не нравится — установщик Windows в режиме EFI хоть и не перезаписывает сектора диска своим кодом, но зато переопределяет NVRAM, подсовывая туда путь к своему загрузчику. Так что функционал GBUB всё равно приходится восстанавливать. В настройках штатного установщика нет опций для кастомизации процесса установки загрузчика. А что если… не использовать стандартный установщик?! Ну, или почти не использовать…



И такой способ есть. И основан он на технологии установки Windows, которую мы имеем в её дистрибутивах начиная с «семерки». Способ работает для случая Windows версий 7/8/8.1/10, как в случае с MBR + BIOS системы, так в случае с EFI + GPT. Установить систему можно как в раздел HDD, так и на VHD. При этом функционал установщика нужен нам в общем-то для запуска программы настройки BCD-хранилища конфигурации загрузчика. Вместо установочного диска можно использовать загрузочный носитель на основе WinPE. Если бы утилитам bcdedit.exe и BootICE была *nix альтернатива, весь процесс развертывания системы можно было бы вообще выполнить в среде Linux.

Читать дальше →
Total votes 31: ↑29 and ↓2+27
Comments45

Изучаем Bootmgr. Часть 1 — инструментарий и основные принципы отладки начальных этапов загрузки ОС Windows

Reading time12 min
Views49K

Введение


Возможно некоторые читатели помнят мою самую первую статью на ресурсе, посвященную загрузке Windows с VHD-образа. Возможно я бы и не вернулся к этой теме, если бы не нашлись люди, попытавшиеся повторить данную технологию на своих домашних машинах. Естественно, с реализацией этого решения возникли проблемы, касающиеся в основном тех ошибок, которые выплевывает bootmgr в тех случаях, когда ему что либо не нравится. Попытки интерпретации ошибок загрузки вроде 0xc03a0003 путем гугления к особо ценным результатам не приводят, а документация Microsoft на этот счет хранит многозначительное молчание. Возникла идея изучить процесс обработки VHD-образов, получив информацию из первых рук, то есть от самого загрузчика.


Если обратится к уже имеющейся в сети информации, то существует замечательный блог "Записки эникейщика о Windows" на страницах которого (раз, два и три) размещены, на мой взгляд, самые ценные сведения, по вопросам устройства bootmgr. Автор подробно рассмотрел процесс загрузки, включая исследования кода MBR и PBR, остановившись на структуре bootmbr, кратко описав происходящие при его работе процессы.


Мы же пойдем дальше — опишем инструментарий, который можно использовать для изучения устройства загрузчика и попытаемся разобраться с некоторыми, интересующими нас алгоритмами. Если такое предложение показалось кому-то интересным, милости прошу под кат

Читать дальше →
Total votes 44: ↑39 and ↓5+34
Comments10

Магия тензорной алгебры: Перезагрузка

Reading time2 min
Views19K


С июня по август прошлого, 2015 года, на Хабре мною были опубликованы 18 статей, озаглавленные "Магия тензорной алгебры". Проект начинался как амбициозная попытка в относительно простой и доступной форме изложить теорию тензорного исчисления с её приложениями к практике.


В силу объективных причин, основной из которых является банальная нехватка времени на поддержку проекта он был приостановлен на неопределенный срок. Радовало лишь то, что какая-то часть работы была проделана, статьи остались в сообществе и могли приносить пользу своим существованием.


Но беда пришла оттуда, откуда её не ждали.

Читать дальше →
Total votes 44: ↑44 and ↓0+44
Comments25

Конечные модели реакций и ударных сил в задачах о движении систем с неудерживающей связью

Reading time6 min
Views9.2K

Введение


В этой статье предлагается рассмотреть нетрадиционный подход к решению задач о движении механической системы с неудерживающей связью. При решении подобных задач приходится анализировать условия, при которых происходит освобождение системы от связи, а так же решать вопрос об изменении характера движения системы при возврате на связь, тесно связанный с понятием механического удара. Для примера того, как можно формализовать подобное движение, рассмотрим простую задачу

1. Постановка задачи


Внутри неподвижного гладкого горизонтального стального цилиндра длиной L = 0.5, м расположен гладкий стальной поршень массой m = 2.0, кг. Поршень находится в покое и прижимается к левому торцу цилиндра цилиндрической пружиной жесткости c = 50, Н/м.



Рис. 1. Расчетная схема к задаче о движении поршня

Пружина имеет усилие предварительной затяжки F_0 = 50, Н. В момент времени t = 0 на поршень начинает действовать горизонтальная сила \vec P, модуль которой изменяется по закону P(t) = b \, t, где b = 25, Н/с. Когда поршень проходит первую половину цилиндра сила \vec P прекращает действовать.

Требуется найти закон движения поршня x(t). Коэффициент восстановления при ударе поршня о левый торец цилиндра принять k = \frac{5}{9}.
Читать дальше →
Total votes 14: ↑12 and ↓2+10
Comments15

Метод функций Ляпунова в задаче об эффекте Джанибекова

Reading time8 min
Views21K

Введение


Данная статья не имеет отношения к циклу «Магия тензорной алгебры», но вызвана к жизни публикациями из него. Небрежно щелкая по ссылкам в поисковике набрел на обсуждение одной из своих статей, посвященных эффекту Джанибекова, и обратил внимание на справедливое замечание о том, что исследование устойчивости гайки Джанибекова по первому приближению не дает однозначного ответа на вопрос о том при каких параметрах движение будет устойчивым. Это так, поскольку корни характеристического полинома, при вращении вокруг оси с наименьшим и наибольшим моментом инерции чисто мнимые, их действительная часть равна нулю. При таких условиях нельзя ответить на вопрос будет ли движение устойчивым, не проведя дополнительного исследования.

Интерпретация Мак-Куллага — наверно самое простое объяснение эффекта Джанибекова


Такое исследование можно выполнить используя метод функций Ляпунова (второй или прямой метод Ляпунова). И чтобы окончательно закрыть вопрос с гайкой Джанибекова, я решил написать эту заметку.
Читать дальше →
Total votes 23: ↑22 and ↓1+21
Comments10

Магия тензорной алгебры: Часть 18 — Математическое моделирование эффекта Джанибекова

Reading time5 min
Views28K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение


Прошлая статья должна была быть о численном моделировании эффекта Джанибекова, но мне внезапно пришла в голову мысль, что этот эффект можно исследовать качественно, пусть и довольно приближенным первым методом Ляпунова. Однако, численное моделирование тоже весьма интересный вопрос, тем более лежащий в плоскости моих исследовательских задач. Поэтому, сегодня мы
  1. Окончательно определимся с тем, как использовать параметры Родрига-Гамильтона для описание ориентации тела в пространстве
  2. Рассмотрим формы представления уравнений движения свободного тела: покажем как тензорные уравнения можно превратить в матричные и компонентные.
  3. Выполним моделирование движения свободного твердого тела при различных соотношениях между главными моментами инерции и покажем, как проявляет себя эффект Джанибекова.

Читать дальше →
Total votes 29: ↑27 and ↓2+25
Comments14

Магия тензорной алгебры: Часть 17 — Зарисовка о гайке Джанибекова

Reading time6 min
Views39K
Данная статья посвящается светлой памяти моего учителя, доктора технических наук, профессора Кабелькова Александра Николаевича, основателя и первого декана Физико-математического факультета ЮРГТУ (НПИ)

Введение


Данное видео иллюстрирует повторный эксперимент — вместо «барашка» используется какая-то самодельная ерунда



Это случилось в 1985 году, на орбитальной станции «Салют-7», во время посещения её экипажем корабля «Союз Т-13» в составе космонавтов Джанибекова В. А. и Савиных В. П. Не буду описывать своими словами, процитировав один из многочисленных сетевых источников
Когда космонавты распаковывали доставленный на орбиту груз, то им приходилось откручивать так называемые «барашки» – гайки с ушками. Стоит ударить по ушку «барашка», и он сам раскручивается. Затем, раскрутившись до конца и соскочив с резьбового стержня, гайка продолжает, вращаясь, лететь по инерции в невесомости (примерно как летящий вращающийся пропеллер). Так вот, Владимир Александрович заметил, что пролетев примерно 40 сантиметров ушками вперед, гайка вдруг совершает внезапный переворот на 180 градусов и продолжает лететь в том же направлении, но уже ушками назад и вращаясь в другую сторону. Затем, опять пролетев сантиметров 40, гайка снова делает кувырок на 180 градусов и продолжает лететь снова ушками вперед, как в первый раз и так далее. Джанибеков неоднократно повторял эксперимент, и результат неизменно повторялся. В общем, вращающаяся гайка, летящая в невесомости, совершает резкие 180-градусные периодические перевороты каждые 43 сантиметра. Также он пробовал вместо гайки использовать другие предметы, например, пластилиновый шарик с прилепленной к нему обычной гайкой, который точно так же, пролетев некоторое расстояние, совершал такие же внезапные перевороты.

Думаю, что для затравки этого вполне достаточно. На самом деле, в «эффекте Джанибекова» нет ничего экстраординарного (хотя ему причисляют и возможную смену полюсов Земли каждые 12000 лет, и прочие глобальные катаклизмы). Используя аппарат тензорной алгебры и теорию устойчивости механического движения, попробуем разобраться, что происходит с загадочной гайкой.
Читать дальше →
Total votes 51: ↑50 and ↓1+49
Comments17

Магия тензорной алгебры: Часть 16 — Свойства тензора инерции твердого тела

Reading time5 min
Views23K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение


Начав рассматривать динамику твердого тела мы столкнулись интересной тензорной величиной, а именно


называемой тензором инерции твердого тела. Кроме того, мы выяснили, что привычный из курса теоретической механики момент инерции твердого тела, при его вращении вокруг неподвижной оси, получается из тензора инерции с помощью простой формулы


Рассмотрим подробнее свойства тензора инерции твердого тела. И для начала изучим механические величины, вычисление которых, так же как и приведение сил инерции к данному центру, приводит к понятию тензора инерции.
Читать дальше →
Total votes 19: ↑16 and ↓3+13
Comments1

Магия тензорной алгебры: Часть 15 — Движение несвободного твердого тела

Reading time4 min
Views9.7K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение


В прошлый раз мы рассмотрели один из способов получения дифференциальных уравнений движения твердого тела исходя из принципа Даламбера. Мы остановились на общей форме уравнений движения


Однако, внимательно взглянув на эти уравнения, меня следовало бы раскритиковать — дело в том, что в данных уравнениях число неизвестных слишком велико. К неизвестным следует отнести ускорение полюса inline_formula и угловое ускорение тела inline_formula, а также реакции связей inline_formula. И если движение тела ограничено хотя бы одной связью, число неизвестных величин в (1) и (2) превышает число уравнений.

Это происходит потому, что левая часть уравнений (1) и (2) содержит ускорения, вычисляемые для случая свободного движения тела, то есть в них имеются избыточные координаты. Поэтому, систему (1), (2) следует дополнить уравнениями связей, описывающими ограничения, налагаемые связями на координаты, скорости и ускорения точек тела.

Этим мы сейчас и займемся — посмотрим, во что превращаются уравнения (1) и (2) при добавлении уравнений связей, и что дают нам полученные уравнения в практическом смысле.
Читать дальше →
Total votes 24: ↑21 and ↓3+18
Comments0

Магия тензорной алгебры: Часть 14 — Нестандартное введение в динамику твердого тела

Reading time10 min
Views13K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение


Динамика твердого тела — раздел механики, который в своё время задал четкий вектор развития этой науки. Это один из самых сложных разделов динамики, и задача интегрирования уравнения сферического движения для произвольного случая распределения массы тела не решена до сих пор.

В этой статье мы начнем рассматривать динамику твердого тела, применяя аппарат тензорной алгебры. Эта пилотная статья о динамике ответит на ряд фундаментальных вопросов, касающихся, например, такого важного понятия как центр масс тела. Что такое центр масс, что отличает его от остальных точек тела, почему уравнения движения тела составляют в основном относительно этой точки? Ответ на эти, и некоторые другие вопросы находится под катом.


Интегрирование уравнений движения этой детской игрушки — одна из до сих пор не решенных задач механики...

Читать дальше →
Total votes 22: ↑21 and ↓1+20
Comments0

Магия тензорной алгебры: Часть 13 — СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорение в параметрах Родрига-Гамильтона

Reading time10 min
Views12K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение



В этой статье мы решим два вопроса — получим выражения для угловой скорости и углового ускорения через параметры Родрига-Гамильтона, о которых мы, подробнее чем планировалось, поговорили в прошлой статье. А заодно продемонстрируем, как можно использовать для этой цели открытую СКА Maxima, которая, как оказалось, неплохо справляется с тензорами, и при наличии определенных навыков может стать серьезным подспорьем для решения научных задач. Для меня Maxima — новый продукт, до этого я работал с Maple и совсем чуть-чуть с Mathematica. Поэтому, возможно, некоторые используемые мной приёмы могут показаться непрофессиональными.


СКА готова нам помочь и ждет разумной команды...


В прошлый раз мы остановились на том, что показали, как алгебру кватернионов можно использовать для представления преобразования поворота. Зная направление оси поворота, задаваемое ортом image и угол, на который надо повернуть систему координат image можно построить единичный кватернион к компонентами
image

и тогда, прямое преобразование поворота вектора image, сводится к перемножению кватернионов
image

а обратное преобразование
image

Мы показали, что преобразования (2) и (3), проведенные над вектором непосредственно, дают формулу Родрига, описывающую конечный поворот. Теперь наша цель — связать параметры кватерниона поворота с тензором поворота и псевдовекторами угловой скорости и углового ускорения.

Читать дальше →
Total votes 26: ↑25 and ↓1+24
Comments2

Магия тензорной алгебры: Часть 12 — Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела

Reading time7 min
Views23K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение



Наконец-то мы подошли к довольно интересной теме — выбору параметров, однозначно определяющих ориентацию твердого тела в пространстве. Исторически наиболее популярными являются углы поворота — они в первую очередь упоминаются в классических учебниках теоретической механики.


Рис.1. Углы Эйлера — параметры, знакомые каждому, кто занимался компьютерной графикой и моделированием пространственного движения тел. И каждый, кому они знакомы, знает, насколько проблематичным бывает их использование.


Обычно углы поворота используют совместно с декартовой системой координат, при этом говорят, что связанная система координат может быть совмещена с базовой путем трех последовательных поворотов вокруг её осей. При этом каждый следующий поворот осуществляется вокруг оси, полученной после предыдущего поворота. Кроме того, следующий поворот не должен происходить вокруг оси, относительно которой совершен предыдущий поворот. В связи с этим существует 12 различных комбинаций углов поворота, самыми известными из которых являются углы Эйлера (рисунок 1). Базовую систему координат поворачивают на угол image вокруг оси Z (угол прецессии), затем на угол image вокруг оси X (угол нутации), и снова вокруг оси Z на угол image (угол собственного вращения) до совмещения её со связанной системой координат.

Использование углов Эйлера всем хорошо — их число совпадает с числом вращательных степеней свободы твердого тела, а значит они не порождают избыточных уравнений связей. Но, даже не прибегая к громоздким формулам, по рисунку 1, можно догадаться, где кроется проблема.

Где кроется проблема и как её решать
Total votes 24: ↑21 and ↓3+18
Comments10

Магия тензорной алгебры: Часть 11 — Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела

Reading time6 min
Views15K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение


Сегодня мы завершим построение тензорных соотношений, описывающих кинематику свободного твердого тела. Так получилось, что на протяжении достаточно большого количества статей мы заново построили часть основополагающего курса теоретической механики. Данные построения, несмотря на некоторую абстрактность, полезны и с методической точки зрения, и с точки зрения того, что применительно к механике, тензорный подход, как скальпель, вскрывает истинную природу привычных нам понятий, таких как законы движения материальных тел, скорость их точек, угловая скорость, угловое ускорение. Вот об угловом ускорении сегодня и пойдет речь.

Мы всё глубже увязаем в математической матрице...

Читать дальше →
Total votes 25: ↑25 and ↓0+25
Comments10

Магия тензорной алгебры: Часть 10 — Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами

Reading time7 min
Views15K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение




Введение на этот раз будет «активным». Мы сразу начнем работать, и, пользуясь результатами предыдущих статей 6 и 9, получим псевдовектор угловой скорости твердого тела, выраженный через параметры конечного поворота.

Итак, путем долгих мучений вручную и, недолгих, но кропотливых преобразований в Maxima, мы пришли к тому, что антисимметричный тензор угловой скорости 2 ранга выглядит так

\Omega_{\,mk} = \left(1 - \cos\varphi \right )\left(\dot u_{\,m} \, u_{\,k} - u_{\,m} \, \dot u_{\,k}\right ) + \sin\varphi \, \left(1 - \cos\varphi \right ) \, u^{\,i} \left( \varepsilon_{\,ijk} \, \dot u^{\,j} \, u_{\,m} - \varepsilon_{\,ilm} \, \dot u^{\,l} \, u_{\,k} \right ) +

+ \sin\varphi \cos\varphi \, \varepsilon_{\,mjk} \, \dot u^{\,j} + \dot\varphi \, \varepsilon_{\,mik} \, u^{i} \quad (1)

Мы говорили о том, что получить псевдовектор угловой скорости можно, свернув (1) с тензором Леви-Чивиты

\omega^{\,r} = \varepsilon^{\,mkr} \, \Omega_{\,mk} \quad (2)

Однако дальнейшее исследование показало, что формула (2) содержит ошибку, которая приводит к получению не совсем верного результата. Отгадка нашлась путем изучения литературы и дальнейшего самостоятельного осмысления результатов из статьи о свертке тензора Леви-Чивиты.

Приглашаю под кат всех, кому интересно, что получилось в итоге.
Читать дальше →
Total votes 21: ↑19 and ↓2+17
Comments8

Магия тензорной алгебры: Часть 9 — Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем Maxima

Reading time8 min
Views14K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение


Утекло уже порядком времени, как я обещал получить тензор угловой скорости твердого тела, выразив его через параметры конечного поворота. Если взглянуть на КДПВ, то станет понятно, почему я так долго думал — стопка бумаги на столе, это ход моих мыслей.

Преобразование тензорных выражений то ещё удовольствие…


Жестокие тензоры не хотели упрощаться. Вернее, они то хотели, но при преобразованиях, раскрытии скобок, в силу невнимательности возникали мелкие ошибки, которые не позволяли взглянуть на картину в целом. В итоге результат таки был получен. Не последнюю роль в этом сыграла СКА Maxima, которой я обратился, во многом благодаря статье пользователя EugeneKalentev. Акцент упомянутой статьи смещался в сторону вычислительной работы с тензорами, компоненты которых представлены конкретными структурами данных. Меня же интересовал вопрос работы с абстрактными тензорами. Оказалось, что Maxima может с ними работать, хоть и нет так, как может быть хотелось, но всё же она серьезно упростила мне жизнь.

Итак, мы возвращаемся к механике твердого тела, а заодно посмотрим, как работать с тензорами в Maxima.
Читать дальше →
Total votes 31: ↑28 and ↓3+25
Comments7

Магия тензорной алгебры: Часть 8 — О свертках тензора Леви-Чивиты

Reading time5 min
Views41K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение


В прошлой статье мы напоролись на конструкцию вида \varepsilon^{\,mqi} \, \varepsilon_{\,ijk} — произведение контравариантного тензора Леви-Чивиты на ковариантный. И, надо сказать, упростил я его не слишком элегантно, а довольно таки топорно. К тому же, конечное выражение формулы Родрига, что в компонентной, что в бескомпонентной форме оказалось крайне неудобным в плане дальнейшего преобразования. Но я ведь обещал читателю показать, как из выражения матрицы поворота через параметры конечного поворота получить угловую скорость твердого тела, поэтому, вопросы излагаемые ниже будут иметь решающее значение в применении тензорного подхода к кинематике и динамике твердого тела. Заодно в очередной раз порекомендую довольно старый сайт «На что похожа математика», хоть и созданный на движке народа.ру, но содержащий сведения, уже несколько раз подталкивающие меня в правильном направлении при решении проблем в изучении тензорной алгебры.

Итак, поговорим о свертках тензора Леви-Чивиты.
Читать дальше →
Total votes 21: ↑20 and ↓1+19
Comments0

Магия тензорной алгебры: Часть 7 — Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления

Reading time8 min
Views35K

Содержание


  1. Что такое тензор и для чего он нужен?
  2. Векторные и тензорные операции. Ранги тензоров
  3. Криволинейные координаты
  4. Динамика точки в тензорном изложении
  5. Действия над тензорами и некоторые другие теоретические вопросы
  6. Кинематика свободного твердого тела. Природа угловой скорости
  7. Конечный поворот твердого тела. Свойства тензора поворота и способ его вычисления
  8. О свертках тензора Леви-Чивиты
  9. Вывод тензора угловой скорости через параметры конечного поворота. Применяем голову и Maxima
  10. Получаем вектор угловой скорости. Работаем над недочетами
  11. Ускорение точки тела при свободном движении. Угловое ускорение твердого тела
  12. Параметры Родрига-Гамильтона в кинематике твердого тела
  13. СКА Maxima в задачах преобразования тензорных выражений. Угловые скорость и ускорения в параметрах Родрига-Гамильтона
  14. Нестандартное введение в динамику твердого тела
  15. Движение несвободного твердого тела
  16. Свойства тензора инерции твердого тела
  17. Зарисовка о гайке Джанибекова
  18. Математическое моделирование эффекта Джанибекова


Введение


В этой статье мы продолжим тему, начатую предыдущей публикацией. В прошлый раз мы, с помощью тензоров, выявили природу угловой скорости и получили уравнения общего вида, позволяющие её рассчитать. Мы пришли к тому, что она естественным путем выводится из оператора поворота связанной с телом системы координат.

А что внутри этого оператора? Для случая декартовых координат легко получить матрицы поворота и легко обнаружить их свойства, связав с ними какой-нибудь способ описание ориентации тела, например углы Эйлера или Крылова. Или вектор и угол конечного поворота. Или кватернион. Но это для декартовых координат.

Начав говорить о тензорах мы отреклись от декартовых координат. Тем хороша тензорная запись, что она позволяет составить уравнения для любой удобной системы координат, не зацикливаясь на её свойствах. И проблема в том, что для, например косоугольных координат, матрицы поворота, даже для плоского случая, крайне сложны. Мне хватило проверки их вида для простого поворота в плоскости.

Так что задача этой статьи — не заглядывая внутрь тензора поворота исследовать его свойства и получить тензорное соотношение для его расчета. А раз задача поставлена, то начнем её решать.
Читать дальше →
Total votes 27: ↑27 and ↓0+27
Comments3

Information

Rating
Does not participate
Location
Ростов-на-Дону, Ростовская обл., Россия
Date of birth
Registered
Activity